Công cụ này dùng để làm gì
Đây là công cụ tính xác suất thuần toán học dựa trên phân phối nhị thức. Nó cho bạn biết khả năng một kết quả nhất định xảy ra đúng m lần trong n lần thử độc lập, khi mỗi lần thử có xác suất thành công là p. Ví dụ kinh điển là gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối: mỗi mặt được chọn xuất hiện với xác suất \(p = 1/6\) ở mỗi lần gieo. Tuy nhiên, công thức này mang tính tổng quát — mọi xác suất thành công từng lần nằm trong khoảng 0 đến 1 đều áp dụng được (tung đồng xu, ném phạt trúng rổ, tỷ lệ lỗi sản phẩm và nhiều trường hợp khác).
Cách sử dụng
Nhập số lần thử n (từ 1 đến 500), xác suất mỗi lần thử p, và số lần thành công mục tiêu m. Bạn có thể nhập p dưới dạng số thập phân như 0.1667 hoặc dạng phân số như 1/6; công cụ sẽ tự động quy đổi phân số thành số thập phân. Lưu ý quan trọng: p là xác suất nằm trong khoảng 0 đến 1, không phải phần trăm — hãy nhập 1/6 chứ không phải 16.67. Kết quả hiển thị \(P(X = m)\) cùng bảng đầy đủ \(P(X = m)\) cho mọi giá trị m từ 0 đến n, các giá trị tích lũy \(P(X \le m)\) và \(P(X \ge m)\), giá trị kỳ vọng và phương sai.
Giải thích công thức
Xác suất có đúng m lần thành công là
$$P(X = m) = \binom{\text{Trials }n}{\text{Successes }m} \, p^{\,m} \left(1-p\right)^{n-m}$$trong đó \(C(n, m) = \dfrac{n!}{m!\,(n - m)!}\) là hệ số nhị thức ("tổ hợp chập m của n"). Giá trị kỳ vọng là
$$\mu = n\,p$$và phương sai là
$$\sigma^{2} = n\,p\left(1-p\right)$$Với n lớn, công cụ tính toán trên thang logarit bằng hàm log-gamma để tránh tràn số khi tính giai thừa.
Ví dụ minh họa
Gieo xúc xắc \(n = 10\) lần; xác suất một mặt được chọn xuất hiện đúng \(m = 2\) lần là bao nhiêu? Ở đây \(p = 1/6\). \(C(10, 2) = 45\), \(p^{2} = 1/36 \approx 0.027778\), và \((5/6)^8 \approx 0.232557\). Vậy
$$P(X = 2) = 45 \times 0.027778 \times 0.232557 \approx 0.29071$$tức khoảng 29.07%. Giá trị kỳ vọng là \(10/6 \approx 1.667\) và phương sai là \(10 \times (1/6) \times (5/6) \approx 1.389\).
Câu hỏi thường gặp
p có phải là phần trăm không? Không. p là xác suất nằm trong khoảng 0 đến 1. Với một mặt xúc xắc, hãy dùng 1/6 hoặc khoảng 0.1667, chứ không phải 16.67.
Làm sao để tính "ít nhất một lần"? Dùng công thức \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\). Với 3 con xúc xắc và một mặt cụ thể: \(1 - (5/6)^{3} = 1 - 0.578704 \approx 0.4213\), tức khoảng 42.13%.
Vì sao tổng các xác suất trong bảng bằng 1? Mỗi lượt thử buộc phải cho ra một số lần thành công nào đó từ 0 đến n, nên tổng xác suất của tất cả các kết quả loại trừ lẫn nhau luôn bằng đúng 1 — đây là một cách kiểm tra nhanh tính chính xác.
