Máy tính xác suất nhị thức là gì?
Công cụ này giúp bạn tính xác suất nhận được đúng k lần thành công trong n phép thử độc lập, trong đó mỗi phép thử đều có cùng một xác suất thành công p. Những tình huống tuân theo quy luật này — như tung đồng xu, ném phạt thành công trong bóng rổ, số sản phẩm lỗi trên dây chuyền, hay câu trả lời có/không trong khảo sát — đều được mô tả bằng phân phối nhị thức. Bên cạnh xác suất chính xác, công cụ còn trả về các xác suất tích lũy \(P(X\le k)\) và \(P(X\ge k)\), cùng với kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối.
Cách sử dụng
Nhập số phép thử n (một số nguyên dương), số lần thành công mà bạn quan tâm k (nằm trong khoảng từ 0 đến n) và xác suất thành công trong một phép thử p (một số thập phân từ 0 đến 1, ví dụ 0,5 cho đồng xu cân đối). Nhấn "Tính" để xem xác suất có đúng k lần thành công cùng các thống kê tóm tắt liên quan.
Giải thích công thức
Hàm khối xác suất nhị thức có dạng $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.$$ Trong đó \(\binom{n}{k}\) — hệ số nhị thức, đọc là "tổ hợp chập k của n" — đếm xem có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau để có được k lần thành công, \(p^k\) là xác suất để cả k phép thử đó đều thành công, còn \((1-p)^{n-k}\) là xác suất để toàn bộ các phép thử còn lại đều thất bại. Nhân ba thành phần này lại sẽ cho tổng xác suất ứng với chính xác số lần thành công đó.
Ví dụ minh họa
Giả sử bạn tung một đồng xu cân đối 10 lần (n=10, p=0,5) và muốn biết xác suất xuất hiện đúng 3 mặt ngửa (k=3). Ta có \(\binom{10}{3}=120\), nên $$P(X=3) = 120 \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^7 = 120 \times 0{,}5^{10} = \frac{120}{1024} \approx 0{,}1172.$$ Kỳ vọng của phân phối là \(n \cdot p = 5\) và độ lệch chuẩn là \(\sqrt{10 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} \approx 1{,}5811\).
Cách Tính Xác Suất Nhị Thức Bằng Tay
Với \(n\) phép thử độc lập, mỗi phép thử có xác suất thành công \(p\), cơ hội có đúng \(k\) lần thành công được tính theo bốn bước.
- Đếm số cách sắp xếp (hệ số nhị thức). Tính \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\), số cách riêng biệt để chọn \(k\) phép thử nào trong \(n\) phép thử sẽ thành công. Ví dụ \(\binom{10}{8}=45\).
- Nâng xác suất thành công. Tính \(p^{k}\) — xác suất để những \(k\) phép thử được chọn đó đều thành công.
- Nâng xác suất thất bại. Tính \((1-p)^{n-k}\) — xác suất để \(n-k\) phép thử còn lại đều thất bại.
- Nhân ba thừa số này. \(P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}\).
Đối với xác suất tích lũy, hãy cộng các số hạng riêng lẻ: \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\), và \(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\).
Các thống kê tóm tắt của phân bố
Đối với phân bố nhị thức, bạn cũng có thể báo cáo:
- Trung bình: \(\mu = np\)
- Phương sai: \(\sigma^{2} = np(1-p)\)
- Độ lệch chuẩn: \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
Ví dụ: với \(n=10,\ p=0.8\) trung bình là \(\mu=10\times0.8=8\), phương sai là \(\sigma^{2}=10\times0.8\times0.2=1.6\), và độ lệch chuẩn là \(\sigma=\sqrt{1.6}\approx1.265\).
Các Thuật Ngữ & Biến Chính
| Thuật Ngữ | Ký Hiệu | Ý Nghĩa |
|---|---|---|
| Số phép thử | \(n\) | Số lượng cố định của các phép thử Bernoulli độc lập, giống hệt nhau (ví dụ 10 lần ném phạt, 20 bộ phận lấy mẫu). |
| Số lần thành công | \(k\) | Số lần kết quả "thành công" chính xác mà bạn muốn biết xác suất, với \(0\le k\le n\). |
| Xác suất thành công | \(p\) | Xác suất thành công trong bất kỳ phép thử nào, nằm trong khoảng từ 0 đến 1; xác suất thất bại là \(1-p\). |
| Hệ số nhị thức | \(\binom{n}{k}\) | "n chọn k" — số cách để chọn \(k\) phép thử nào trong \(n\) phép thử sẽ thành công: \(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\). |
| Hàm khối xác suất (PMF) | \(P(X=k)\) | Xác suất có đúng \(k\) lần thành công: \(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\). |
| Xác suất tích lũy (dưới) | \(P(X\le k)\) | Xác suất có \(k\) lần thành công hoặc ít hơn — tổng của PMF từ 0 đến \(k\). |
| Xác suất tích lũy (trên) | \(P(X\ge k)\) | Xác suất có \(k\) lần thành công hoặc nhiều hơn, bằng \(1-P(X\le k-1)\). |
| Trung bình (giá trị kỳ vọng) | \(\mu=np\) | Số lần thành công trung bình dự kiến trong nhiều lần lặp lại \(n\) phép thử. |
| Phương sai | \(\sigma^{2}=np(1-p)\) | Một thước đo độ phân tán của số lần thành công xung quanh trung bình. |
| Độ lệch chuẩn | \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) | Căn bậc hai của phương sai, được biểu thị bằng cùng một đơn vị như số lần thành công. |
Câu hỏi thường gặp
\(P(X=k)\) và \(P(X\le k)\) khác nhau như thế nào? \(P(X=k)\) là xác suất có đúng k lần thành công, trong khi \(P(X\le k)\) là tổng xác suất từ 0 đến k lần thành công (tích lũy).
p có thể lớn hơn 1 không? Không. Xác suất luôn phải nằm trong khoảng từ 0 đến 1; những giá trị nằm ngoài khoảng này sẽ bị giới hạn lại.
Các phép thử có bắt buộc phải độc lập không? Có — mô hình nhị thức giả định một số cố định các phép thử độc lập với xác suất thành công không đổi.
