Что такое калькулятор биномиальной вероятности?
Этот калькулятор находит вероятность получить ровно k успехов в n независимых испытаниях, когда у каждого испытания одинаковая вероятность успеха p. Множество реальных ситуаций укладывается в эту схему — подбрасывание монеты, удачные штрафные броски, бракованные детали на конвейере или ответы «да/нет» в опросе. Все они описываются биномиальным распределением. Помимо точной вероятности калькулятор выдаёт накопленные вероятности \(P(X\le k)\) и \(P(X\ge k)\), а также среднее, дисперсию и стандартное отклонение распределения.
Как пользоваться
Укажите число испытаний n (целое положительное число), интересующее вас число успехов k (от 0 до n) и вероятность успеха в одном испытании p (десятичная дробь от 0 до 1, например 0,5 для честной монеты). Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть вероятность ровно k успехов и сопутствующие сводные показатели.
Разбор формулы
Функция вероятности биномиального распределения выглядит так: $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ Здесь \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, «число сочетаний из n по k» — показывает, сколькими разными способами могут расположиться k успехов; \(p^k\) — вероятность того, что все эти k испытаний окажутся успешными; а \((1-p)^{n-k}\) — вероятность того, что все остальные испытания завершатся неудачей. Их произведение и даёт итоговую вероятность именно такого количества успехов.
Пример с решением
Подбросим честную монету 10 раз (n=10, p=0,5) и найдём вероятность ровно 3 «орлов» (k=3). \(\binom{10}{3}=120\), поэтому $$P(X=3) = 120 \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^7 = 120 \times 0{,}5^{10} = \frac{120}{1024} \approx 0{,}1172$$ Среднее распределения равно \(n\cdot p = 5\), а стандартное отклонение — \(\sqrt{10\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5} \approx 1{,}5811\).
Частые вопросы
Чем \(P(X=k)\) отличается от \(P(X\le k)\)? \(P(X=k)\) — это вероятность ровно k успехов, тогда как \(P(X\le k)\) суммирует вероятности от 0 до k успехов включительно (накопленная вероятность).
Может ли p быть больше 1? Нет. Вероятность всегда лежит в диапазоне от 0 до 1; значения за его пределами ограничиваются.
Обязательно ли испытания должны быть независимыми? Да. Биномиальная модель предполагает фиксированное число независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха.
Как вычислить вероятность по формуле Бернулли вручную
При \(n\) независимых испытаниях, каждое с вероятностью успеха \(p\), вероятность ровно \(k\) успехов вычисляется в четыре этапа.
- Подсчитайте количество расположений (биномиальный коэффициент). Вычислите \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\), количество различных способов выбрать, какие \(k\) из \(n\) испытаний окончатся успехом. Например, \(\binom{10}{8}=45\).
- Возведите вероятность успеха в степень. Вычислите \(p^{k}\) — вероятность того, что все \(k\) выбранных испытаний окончатся успехом.
- Возведите вероятность неудачи в степень. Вычислите \((1-p)^{n-k}\) — вероятность того, что все оставшиеся \(n-k\) испытаний окончатся неудачей.
- Умножьте три множителя. \(P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}\).
Для кумулятивной вероятности суммируйте отдельные члены: \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\), и \(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\).
Сводные статистики распределения
Для биномиального распределения вы также можете сообщить:
- Среднее значение: \(\mu = np\)
- Дисперсия: \(\sigma^{2} = np(1-p)\)
- Стандартное отклонение: \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
Пример: для \(n=10,\ p=0.8\) среднее значение \(\mu=10\times0.8=8\), дисперсия \(\sigma^{2}=10\times0.8\times0.2=1.6\), и стандартное отклонение \(\sigma=\sqrt{1.6}\approx1.265\).
Ключевые термины и переменные
| Термин | Символ | Значение |
|---|---|---|
| Количество испытаний | \(n\) | Фиксированное количество независимых, одинаковых испытаний Бернулли (например, 10 штрафных бросков, 20 проверенных деталей). |
| Количество успехов | \(k\) | Точное количество исходов «успех», вероятность которых вы хотите найти, где \(0\le k\le n\). |
| Вероятность успеха | \(p\) | Вероятность успеха в любом отдельном испытании, между 0 и 1; вероятность неудачи равна \(1-p\). |
| Биномиальный коэффициент | \(\binom{n}{k}\) | «n выбрать k» — количество способов выбрать, какие \(k\) из \(n\) испытаний окончатся успехом: \(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\). |
| Функция вероятности масс (PMF) | \(P(X=k)\) | Вероятность ровно \(k\) успехов: \(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\). |
| Кумулятивная вероятность (нижняя) | \(P(X\le k)\) | Вероятность \(k\) или менее успехов — сумма PMF от 0 до \(k\). |
| Кумулятивная вероятность (верхняя) | \(P(X\ge k)\) | Вероятность \(k\) или более успехов, равная \(1-P(X\le k-1)\). |
| Среднее значение (ожидаемое значение) | \(\mu=np\) | Среднее количество успехов, ожидаемое при многократном повторении \(n\) испытаний. |
| Дисперсия | \(\sigma^{2}=np(1-p)\) | Мера разброса количества успехов вокруг среднего значения. |
| Стандартное отклонение | \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) | Квадратный корень из дисперсии, выраженный в тех же единицах, что и количество успехов. |
