Qu'est-ce que le calculateur de probabilité binomiale ?
Ce calculateur détermine la probabilité d'obtenir exactement k succès sur n essais indépendants, chaque essai ayant la même probabilité de succès p. De nombreuses situations suivent ce schéma : lancers d'une pièce, lancers francs réussis au basket, pièces défectueuses sur une chaîne de production ou réponses oui/non à un sondage. Toutes relèvent de la loi binomiale. En plus de la probabilité exacte, l'outil renvoie aussi les probabilités cumulées \(P(X\le k)\) et \(P(X\ge k)\), ainsi que la moyenne, la variance et l'écart-type de la distribution.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre d'essais n (un entier positif), le nombre de succès qui vous intéresse k (compris entre 0 et n) et la probabilité de succès lors d'un seul essai p (un nombre décimal entre 0 et 1, par exemple 0,5 pour une pièce équilibrée). Cliquez sur « Calculer » pour afficher la probabilité d'obtenir exactement k succès et les statistiques récapitulatives associées.
La formule expliquée
La fonction de masse de la loi binomiale s'écrit $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ Ici, \(\binom{n}{k}\) — le coefficient binomial « k parmi n » — compte le nombre de façons distinctes d'agencer k succès, \(p^k\) représente la probabilité que ces k essais réussissent tous, et \((1-p)^{n-k}\) celle que les essais restants échouent tous. Leur produit donne la probabilité totale d'obtenir précisément ce nombre de succès.
Exemple concret
Lancez 10 fois une pièce équilibrée (n=10, p=0,5) et demandez exactement 3 faces (k=3). Comme \(\binom{10}{3}=120\), on obtient $$P(X=3) = 120 \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^7 = 120 \times 0{,}5^{10} = \frac{120}{1024} \approx 0{,}1172$$ La moyenne de la distribution vaut \(n \cdot p = 5\) et son écart-type \(\sqrt{10 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} \approx 1{,}5811\).
Comment calculer la probabilité binomiale à la main
Étant donné \(n\) essais indépendants, chacun avec une probabilité de succès \(p\), la chance d'obtenir exactement \(k\) succès se calcule en quatre étapes.
- Compter les arrangements (coefficient binomial). Calculer \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\), le nombre de façons distinctes de choisir lesquels \(k\) des \(n\) essais réussissent. Par exemple \(\binom{10}{8}=45\).
- Élever la probabilité de succès. Calculer \(p^{k}\) — la probabilité que ces \(k\) essais choisis réussissent tous.
- Élever la probabilité d'échec. Calculer \((1-p)^{n-k}\) — la probabilité que les \(n-k\) essais restants échouent tous.
- Multiplier les trois facteurs. \(P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}\).
Pour une probabilité cumulée, additionnez les termes individuels : \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\), et \(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\).
Statistiques récapitulatives de la distribution
Pour une distribution binomiale, vous pouvez également rapporter :
- Moyenne : \(\mu = np\)
- Variance : \(\sigma^{2} = np(1-p)\)
- Écart-type : \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
Exemple : pour \(n=10,\ p=0.8\) la moyenne est \(\mu=10\times0.8=8\), la variance est \(\sigma^{2}=10\times0.8\times0.2=1.6\), et l'écart-type est \(\sigma=\sqrt{1.6}\approx1.265\).
Termes et variables clés
| Terme | Symbole | Signification |
|---|---|---|
| Nombre d'essais | \(n\) | Le nombre fixe d'essais indépendants et identiques de Bernoulli (par exemple 10 lancers francs, 20 pièces échantillonnées). |
| Nombre de succès | \(k\) | Le nombre exact de résultats « succès » dont vous voulez la probabilité, avec \(0\le k\le n\). |
| Probabilité de succès | \(p\) | La probabilité de succès à un seul essai, entre 0 et 1 ; la probabilité d'échec est \(1-p\). |
| Coefficient binomial | \(\binom{n}{k}\) | « n parmi k » — le nombre de façons de choisir lesquels \(k\) des \(n\) essais réussissent : \(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\). |
| Fonction de masse de probabilité (PMF) | \(P(X=k)\) | La probabilité d'exactement \(k\) succès : \(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\). |
| Probabilité cumulée (inférieure) | \(P(X\le k)\) | Probabilité d'avoir \(k\) succès ou moins — la somme de la PMF de 0 à \(k\). |
| Probabilité cumulée (supérieure) | \(P(X\ge k)\) | Probabilité d'avoir \(k\) succès ou plus, égale à \(1-P(X\le k-1)\). |
| Moyenne (valeur attendue) | \(\mu=np\) | Le nombre moyen de succès attendu sur de nombreuses répétitions des \(n\) essais. |
| Variance | \(\sigma^{2}=np(1-p)\) | Une mesure de la dispersion du nombre de succès autour de la moyenne. |
| Écart-type | \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) | La racine carrée de la variance, exprimée dans les mêmes unités que le nombre de succès. |
FAQ
Quelle est la différence entre \(P(X=k)\) et \(P(X\le k)\) ? \(P(X=k)\) correspond à la probabilité d'obtenir exactement k succès, tandis que \(P(X\le k)\) additionne les probabilités de 0 jusqu'à k succès (valeur cumulée).
p peut-il être supérieur à 1 ? Non. Une probabilité doit toujours être comprise entre 0 et 1 ; toute valeur en dehors de cette plage est ramenée à ces bornes.
Les essais doivent-ils être indépendants ? Oui. Le modèle binomial suppose un nombre fixe d'essais indépendants avec une probabilité de succès constante.
