什么是二项分布概率计算器？
这款计算器用于求出在 n 次相互独立的试验中，恰好出现 k 次成功的概率，其中每次试验的成功概率 p 都相同。掷硬币、投篮命中、生产线上的次品、问卷中的"是/否"回答等只有两种结果的场景，都符合二项分布的规律。除了精确概率，它还会给出累积概率 \(P(X\le k)\) 和 \(P(X\ge k)\)，以及该分布的均值、方差和标准差。
如何使用
输入试验次数 n（正整数）、你关心的成功次数 k（取值在 0 到 n 之间），以及单次试验的成功概率 p（0 到 1 之间的小数，例如均匀硬币取 0.5）。点击"计算"，即可看到恰好出现 k 次成功的概率，以及相关的汇总统计量。
公式详解
二项分布的概率质量函数为
$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$其中 \(\binom{n}{k}\)——即组合数"从 n 中取 k"——表示 k 次成功在 n 次试验中可以有多少种不同的排列方式；\(p^k\) 是这 k 次试验全部成功的概率；\((1-p)^{n-k}\) 则是剩余试验全部失败的概率。三者相乘，就得到出现该特定成功次数的总概率。
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$
计算实例
把一枚均匀硬币掷 10 次（\(n=10\)，\(p=0.5\)），求恰好出现 3 次正面（\(k=3\)）的概率。由于 \(\binom{10}{3}=120\)，因此
$$P(X=3) = 120 \times 0.5^3 \times 0.5^7 = 120 \times 0.5^{10} = \frac{120}{1024} \approx 0.1172$$该分布的均值为 \(n \cdot p = 5\)，标准差为 \(\sqrt{10 \cdot 0.5 \cdot 0.5} \approx 1.5811\)。
如何手工计算二项分布概率
给定 \(n\) 次独立试验，每次成功概率为 \(p\)，恰好成功 \(k\) 次的概率可通过四个步骤计算。
- 计数排列方式（二项系数）。 计算 \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)，即从 \(n\) 次试验中选出 \(k\) 次成功的不同方式数。例如 \(\binom{10}{8}=45\)。
- 提高成功概率。 计算 \(p^{k}\) — 这 \(k\) 次被选中的试验都成功的概率。
- 提高失败概率。 计算 \((1-p)^{n-k}\) — 其余 \(n-k\) 次试验都失败的概率。
- 将三个因子相乘。 \(P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}\)。
对于累积概率，对各项求和：\(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\)，以及 \(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\)。
分布的汇总统计量
对于二项分布，你还可以报告：
- 均值： \(\mu = np\)
- 方差： \(\sigma^{2} = np(1-p)\)
- 标准差： \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
例如：对于 \(n=10,\ p=0.8\)，均值为 \(\mu=10\times0.8=8\)，方差为 \(\sigma^{2}=10\times0.8\times0.2=1.6\)，标准差为 \(\sigma=\sqrt{1.6}\approx1.265\)。
关键术语与变量
| 术语 | 符号 | 含义 |
|---|---|---|
| 试验次数 | \(n\) | 固定数量的独立、相同的伯努利试验（例如 10 次罚球、20 个抽样零件）。 |
| 成功次数 | \(k\) | 你要求其概率的"成功"结果的精确次数，其中 \(0\le k\le n\)。 |
| 成功概率 | \(p\) | 任何单次试验中的成功概率，介于 0 和 1 之间；失败概率为 \(1-p\)。 |
| 二项系数 | \(\binom{n}{k}\) | "n 取 k" — 从 \(n\) 次试验中选出 \(k\) 次成功的方式数：\(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)。 |
| 概率质量函数 (PMF) | \(P(X=k)\) | 恰好成功 \(k\) 次的概率：\(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)。 |
| 累积概率（下侧） | \(P(X\le k)\) | \(k\) 次或更少次成功的概率 — 从 0 到 \(k\) 的 PMF 之和。 |
| 累积概率（上侧） | \(P(X\ge k)\) | \(k\) 次或更多次成功的概率，等于 \(1-P(X\le k-1)\)。 |
| 均值（期望值） | \(\mu=np\) | 在 \(n\) 次试验的多次重复中预期的平均成功次数。 |
| 方差 | \(\sigma^{2}=np(1-p)\) | 成功次数围绕均值的离散程度的度量。 |
| 标准差 | \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) | 方差的平方根，以成功次数的相同单位表示。 |
常见问题
\(P(X=k)\) 和 \(P(X\le k)\) 有什么区别？\(P(X=k)\) 是恰好出现 k 次成功的概率，而 \(P(X\le k)\) 则把从 0 到 k 次成功的所有概率累加起来（即累积概率）。
p 可以大于 1 吗？不可以。概率必须在 0 到 1 之间，超出该范围的数值会被强制限定回这一区间。
每次试验都必须相互独立吗？是的。二项分布模型的前提是：试验次数固定、各次试验相互独立，且成功概率始终保持不变。
