¿Qué es la calculadora de probabilidad binomial?
Esta calculadora obtiene la probabilidad de conseguir exactamente k éxitos en n ensayos independientes, donde cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito p. Las situaciones que siguen este patrón —lanzamientos de moneda, tiros libres encestados, piezas defectuosas en una línea de producción o respuestas de sí/no en una encuesta— se describen mediante la distribución binomial. Además de la probabilidad exacta, también devuelve las probabilidades acumuladas \(P(X \le k)\) y \(P(X \ge k)\), junto con la media, la varianza y la desviación estándar de la distribución.
Cómo usarla
Introduce el número de ensayos n (un número entero positivo), el número de éxitos que te interesa k (entre 0 y n) y la probabilidad de éxito en un solo ensayo p (un decimal entre 0 y 1; por ejemplo, 0,5 para una moneda equilibrada). Pulsa calcular para ver la probabilidad de obtener exactamente k éxitos y las estadísticas resumidas relacionadas.
La fórmula explicada
La función de masa de probabilidad binomial es $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ Aquí \(\binom{n}{k}\) —el coeficiente binomial "n sobre k"— cuenta cuántas combinaciones distintas de k éxitos son posibles, \(p^k\) es la probabilidad de que esos k ensayos resulten todos en éxito y \((1-p)^{n-k}\) es la probabilidad de que el resto fracasen. Al multiplicarlos se obtiene la probabilidad total de ese recuento concreto.
Ejemplo resuelto
Lanza una moneda equilibrada 10 veces (n=10, p=0,5) y pregunta por exactamente 3 caras (k=3). \(\binom{10}{3}=120\), así que $$P(X=3) = 120 \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^7 = 120 \times 0{,}5^{10} = \frac{120}{1024} \approx 0{,}1172$$ La media de la distribución es \(n \cdot p = 5\) y su desviación estándar es \(\sqrt{10 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} \approx 1{,}5811\).
Cómo calcular la probabilidad binomial a mano
Dado \(n\) ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito \(p\), la probabilidad de exactamente \(k\) éxitos se calcula en cuatro pasos.
- Contar los arreglos (coeficiente binomial). Calcular \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\), el número de formas distintas de elegir cuál de los \(n\) ensayos tiene éxito. Por ejemplo \(\binom{10}{8}=45\).
- Elevar la probabilidad de éxito. Calcular \(p^{k}\) — la probabilidad de que esos \(k\) ensayos elegidos tengan éxito.
- Elevar la probabilidad de fracaso. Calcular \((1-p)^{n-k}\) — la probabilidad de que los \(n-k\) ensayos restantes fracasen.
- Multiplicar los tres factores. \(P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}\).
Para una probabilidad acumulada, sume los términos individuales: \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\), y \(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\).
Estadísticas resumen de la distribución
Para una distribución binomial también puede informar:
- Media: \(\mu = np\)
- Varianza: \(\sigma^{2} = np(1-p)\)
- Desviación estándar: \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
Ejemplo: para \(n=10,\ p=0.8\) la media es \(\mu=10\times0.8=8\), la varianza es \(\sigma^{2}=10\times0.8\times0.2=1.6\), y la desviación estándar es \(\sigma=\sqrt{1.6}\approx1.265\).
Términos clave y variables
| Término | Símbolo | Significado |
|---|---|---|
| Número de ensayos | \(n\) | El recuento fijo de ensayos de Bernoulli independientes e idénticos (por ejemplo, 10 lanzamientos libres, 20 piezas muestreadas). |
| Número de éxitos | \(k\) | El número exacto de resultados de "éxito" cuya probabilidad desea, con \(0\le k\le n\). |
| Probabilidad de éxito | \(p\) | La probabilidad de éxito en cualquier ensayo individual, entre 0 y 1; la probabilidad de fracaso es \(1-p\). |
| Coeficiente binomial | \(\binom{n}{k}\) | "n sobre k" — el número de formas de elegir cuál de los \(n\) ensayos tiene éxito: \(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\). |
| Función de masa de probabilidad (PMF) | \(P(X=k)\) | La probabilidad de exactamente \(k\) éxitos: \(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\). |
| Probabilidad acumulada (inferior) | \(P(X\le k)\) | Probabilidad de \(k\) o menos éxitos — la suma de la PMF de 0 a \(k\). |
| Probabilidad acumulada (superior) | \(P(X\ge k)\) | Probabilidad de \(k\) o más éxitos, igual a \(1-P(X\le k-1)\). |
| Media (valor esperado) | \(\mu=np\) | El número promedio de éxitos esperado en muchas repeticiones de los \(n\) ensayos. |
| Varianza | \(\sigma^{2}=np(1-p)\) | Una medida de la dispersión del número de éxitos alrededor de la media. |
| Desviación estándar | \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) | La raíz cuadrada de la varianza, expresada en las mismas unidades que el recuento de éxitos. |
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre \(P(X=k)\) y \(P(X \le k)\)? \(P(X=k)\) es la probabilidad de obtener exactamente k éxitos, mientras que \(P(X \le k)\) suma las probabilidades de 0 hasta k éxitos (acumulada).
¿Puede p ser mayor que 1? No. Una probabilidad debe estar entre 0 y 1; los valores fuera de ese rango se ajustan a los límites.
¿Cada ensayo tiene que ser independiente? Sí: el modelo binomial supone un número fijo de ensayos independientes con una probabilidad de éxito constante.
