什麼是二項分布機率計算器？
這個計算器能算出在 n 次獨立試驗中，恰好出現 k 次成功的機率，其中每一次試驗的成功機率都相同，記為 p。許多情境都符合這種模式——例如丟硬幣、罰球命中、生產線上的瑕疵品，或是問卷中「是/否」的回答——這類問題都可以用二項分布來描述。除了精確機率之外，本工具還會一併提供累積機率 \(P(X\le k)\) 與 \(P(X\ge k)\)，以及該分布的平均數、變異數與標準差。
如何使用
輸入試驗次數 n（正整數）、你想關注的成功次數 k（介於 0 與 n 之間），以及單次試驗的成功機率 p（介於 0 與 1 的小數，例如公正硬幣為 0.5）。按下計算後，即可看到恰好出現 k 次成功的機率，以及相關的統計摘要。
公式解析
二項分布的機率質量函數為 $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$其中 \(\binom{n}{k}\)（即二項式係數「n 取 k」）代表 k 次成功有多少種不同的排列方式；\(p^k\) 是這 k 次試驗全部成功的機率；\((1-p)^{n-k}\) 則是其餘試驗全部失敗的機率。三者相乘，便得到出現該特定成功次數的總機率。
範例演算
假設丟一枚公正硬幣 10 次（n=10、p=0.5），想知道恰好出現 3 次正面（k=3）的機率。由於 \(\binom{10}{3}=120\)，因此 $$P(X=3) = 120 \times 0.5^3 \times 0.5^7 = 120 \times 0.5^{10} = \frac{120}{1024} \approx 0.1172$$此分布的平均數為 \(n \cdot p = 5\)，標準差為 \(\sqrt{10 \cdot 0.5 \cdot 0.5} \approx 1.5811\)。
如何手工計算二項概率
給定 \(n\) 次獨立試驗，每次成功概率為 \(p\)，恰好成功 \(k\) 次的概率分四個步驟計算。
- 計算排列數（二項係數）。計算 \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)，即從 \(n\) 次試驗中選擇 \(k\) 次成功的不同方式數。例如 \(\binom{10}{8}=45\)。
- 提高成功概率。計算 \(p^{k}\) — 這 \(k\) 個被選中的試驗全部成功的概率。
- 提高失敗概率。計算 \((1-p)^{n-k}\) — 剩餘 \(n-k\) 次試驗全部失敗的概率。
- 將三個因子相乘。\(P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}\)。
對於累積概率，對各個項求和：\(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\)，以及 \(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\)。
分佈的統計摘要
對於二項分佈，您還可以報告：
- 均值：\(\mu = np\)
- 方差：\(\sigma^{2} = np(1-p)\)
- 標準差：\(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
示例：對於 \(n=10,\ p=0.8\)，均值為 \(\mu=10\times0.8=8\)，方差為 \(\sigma^{2}=10\times0.8\times0.2=1.6\)，標準差為 \(\sigma=\sqrt{1.6}\approx1.265\)。
關鍵術語與變數
| 術語 | 符號 | 含義 |
|---|---|---|
| 試驗次數 | \(n\) | 獨立且相同的伯努利試驗的固定計數（例如 10 次罰球、20 個取樣零件）。 |
| 成功次數 | \(k\) | 您想要求其概率的「成功」結果的確切次數，其中 \(0\le k\le n\)。 |
| 成功概率 | \(p\) | 任何單次試驗成功的概率，介於 0 到 1 之間；失敗概率為 \(1-p\)。 |
| 二項係數 | \(\binom{n}{k}\) | 「n 選 k」— 從 \(n\) 次試驗中選擇哪 \(k\) 次成功的方式數：\(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)。 |
| 概率質量函數 (PMF) | \(P(X=k)\) | 恰好 \(k\) 次成功的概率：\(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)。 |
| 累積概率（下側） | \(P(X\le k)\) | \(k\) 次或更少成功的概率 — 概率質量函數從 0 到 \(k\) 的和。 |
| 累積概率（上側） | \(P(X\ge k)\) | \(k\) 次或更多成功的概率，等於 \(1-P(X\le k-1)\)。 |
| 均值（期望值） | \(\mu=np\) | 在重複進行 \(n\) 次試驗多次時，預期的平均成功次數。 |
| 方差 | \(\sigma^{2}=np(1-p)\) | 成功次數圍繞均值分佈的度量。 |
| 標準差 | \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) | 方差的平方根，以與成功次數計數相同的單位表示。 |
常見問題
\(P(X=k)\) 與 \(P(X\le k)\) 有什麼不同？ \(P(X=k)\) 指的是恰好出現 k 次成功的機率；\(P(X\le k)\) 則是把從 0 次到 k 次成功的機率全部加總起來（即累積機率）。
p 可以大於 1 嗎？ 不行。機率必須介於 0 與 1 之間，超出此範圍的數值會被限制在合理區間內。
每次試驗一定要彼此獨立嗎？ 是的——二項分布模型的前提是固定次數的獨立試驗，且每次成功機率維持不變。
