這個計算器能做什麼
這個工具可以算出在 n 次拋硬幣中恰好出現 k 次正面 的機率。它採用二項分布（binomial distribution）來建模——也就是在固定次數、彼此獨立的「是/否」試驗中，計算成功次數的分布情形。預設情況下，工具假設硬幣是公正的（正面機率 \(p = 0.5\)），但你也可以輸入 0 到 1 之間的任意正面機率，用來模擬有偏差的硬幣。
使用方法
輸入拋擲的總次數 n、目標正面次數 k（k 可以是 0 到 n 之間的任意整數），以及單次拋擲出現正面的機率 p。計算器會同時以小數和百分比的形式回傳精確機率，並列出這些正面落點的不同排列組合數 \(C(n,k)\)。
公式解析
恰好出現 k 次成功的二項機率為：
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{\,k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$
其中 \(C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)\) 是二項式係數，代表從 n 次拋擲中選出哪 k 次為正面的所有組合數。\(p^{k}\) 是這些被選中的拋擲全部出現正面的機率，而 \((1-p)^{n-k}\) 則是其餘拋擲全部出現反面的機率。對於公正硬幣（\(p = 0.5\)），公式可簡化為 \(P = C(n,k) \times 0.5^{n}\)。
實例演算
拋 10 次公正硬幣，恰好出現 5 次正面的機率是多少？\(C(10,5) = 252\)，而 \(0.5^{10} = 1/1024 \approx 0.0009766\)。因此 $$P = 252 \times 0.0009766 \approx 0.2461$$ 約為 24.6%。這已是所有結果中機率最高的一種，但發生的機會仍不到四分之一。
常見問題
為什麼「恰好一半正面」不是 50%？因為其餘所有結果（4 次、6 次、7 次正面等等）也都分掉了剩下的機率。出現恰好 \(k = n/2\) 只是這個分散分布中的最高點而已。
k 可以大於 n 嗎？不行。正面次數不可能超過拋擲總次數，所以只要 k 大於 n，機率就是 0。
如何模擬有偏差的硬幣？把 p 設成實際的正面機率即可——例如，正面出現率為 60% 的硬幣就輸入 0.6。
