ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة احتمال الحصول على عدد محدد من الصور (k) بالضبط في n رمية عملة. وتعتمد في ذلك على توزيع الاحتمال الثنائي (التوزيع ذي الحدين)، وهو نموذج رياضي يصف عدد مرات النجاح ضمن عدد ثابت من التجارب المستقلة التي لها نتيجتان فقط (نعم/لا). تفترض الحاسبة افتراضيًا أن العملة عادلة (أي أن احتمال ظهور الصورة \(p = 0.5\))، لكن يمكنك إدخال أي قيمة لاحتمال ظهور الصورة بين 0 و1 لتمثيل عملة منحازة أو غير متوازنة.
طريقة الاستخدام
أدخل العدد الإجمالي للرميات n، ثم العدد المطلوب من الصور k (حيث يمكن أن تتراوح قيمة k من 0 حتى n)، واحتمال ظهور الصورة p في الرمية الواحدة. تعرض لك الحاسبة الاحتمال الدقيق على هيئة قيمة عشرية ونسبة مئوية معًا، إضافةً إلى عدد الطرق المختلفة \(C(n,k)\) التي يمكن أن تظهر بها هذه الصور.
شرح الصيغة
يُعطى احتمال الحصول على k نجاحًا بالضبط وفق التوزيع الثنائي بالصيغة التالية:
$$P(X = \text{k}) = \binom{\text{n}}{\text{k}} \, \text{p}^{\,\text{k}} \left(1 - \text{p}\right)^{\text{n} - \text{k}}$$هنا، تمثل \(C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)\) معامل التوزيع الثنائي، أي عدد الطرق الممكنة لاختيار الرميات الـ k التي تظهر فيها الصورة من بين الرميات الـ n. أما الحد \(p^{k}\) فيمثل احتمال ظهور الصورة في كل تلك الرميات المختارة، والحد \((1-p)^{n-k}\) يمثل احتمال ظهور الكتابة في بقية الرميات. وفي حالة العملة العادلة (\(p = 0.5\))، تختصر الصيغة إلى \(P = C(n,k) \times 0.5^{n}\).
مثال محلول
ما هو احتمال الحصول على 5 صور بالضبط في 10 رميات لعملة عادلة؟ نجد أن \(C(10,5) = 252\)، وأن \(0.5^{10} = 1/1024 \approx 0.0009766\). وبالتالي يكون $$P = 252 \times 0.0009766 \approx 0.2461$$ أي ما يعادل نحو 24.6%. وهذه هي النتيجة الأكثر احتمالًا على الإطلاق، ومع ذلك فهي لا تتحقق إلا في أقل من ربع الحالات.
الأسئلة الشائعة
لماذا لا يبلغ احتمال ظهور نصف العدد صورًا تمامًا نسبة 50%؟ لأن جميع النتائج الأخرى (4 أو 6 أو 7 صور، وهكذا) تتقاسم الاحتمال المتبقي. فالحصول على \(k = n/2\) بالضبط ليس سوى ذروة توزيع منتشر على نطاق واسع من النتائج.
هل يمكن أن تكون k أكبر من n؟ لا. لا يمكن أن يتجاوز عدد الصور عدد الرميات نفسها، لذلك يكون الاحتمال صفرًا في أي حالة تتجاوز فيها k قيمة n.
كيف أمثّل عملة منحازة؟ اضبط قيمة p على الاحتمال الفعلي لظهور الصورة، فمثلًا أدخل 0.6 لعملة تظهر فيها الصورة بنسبة 60% من المرات.
