Что считает этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет вероятность того, что выпадет ровно k орлов в n бросках монеты. В основе лежит биномиальное распределение — оно описывает количество «успехов» в серии независимых испытаний с двумя исходами («да/нет»). По умолчанию монета считается честной (вероятность орла p = 0,5), но вы можете задать любое значение вероятности орла от 0 до 1 и смоделировать «нечестную» монету с перекосом.
Как пользоваться
Укажите общее число бросков n, нужное количество орлов k (от 0 до n) и вероятность выпадения орла p за один бросок. Калькулятор покажет точную вероятность — и в виде десятичной дроби, и в процентах — а также число различных способов \(C(n,k)\), которыми эти орлы могут расположиться в серии.
Разбираем формулу
Биномиальная вероятность ровно k «успехов» выглядит так:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{\,k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$
Здесь \(C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)\) — биномиальный коэффициент, то есть число способов выбрать, какие именно k бросков из n окажутся орлами. Множитель \(p^{k}\) — это вероятность того, что все выбранные броски действительно дадут орла, а \((1-p)^{n-k}\) — вероятность того, что на остальных выпадет решка. Для честной монеты (p = 0,5) формула упрощается до \(P = C(n,k) \times 0{,}5^{n}\).
Пример с расчётом
Какова вероятность получить ровно 5 орлов в 10 бросках честной монеты? \(C(10,5) = 252\), а \(0{,}5^{10} = 1/1024 \approx 0{,}0009766\). Значит, $$P = 252 \times 0{,}0009766 \approx 0{,}2461,$$ то есть примерно 24,6%. Это самый вероятный из всех исходов — и всё равно он случается реже, чем в четверти случаев.
Частые вопросы
Почему «ровно половина орлов» — это не 50%? Потому что на все остальные исходы (4, 6, 7 орлов и так далее) тоже приходится своя доля вероятности. Значение \(k = n/2\) — это всего лишь пик довольно «размазанного» распределения.
Может ли k быть больше n? Нет. Орлов не может выпасть больше, чем сделано бросков, поэтому при k больше n вероятность всегда равна 0.
Как смоделировать монету с перекосом? Задайте p равным реальной вероятности орла — например, 0,6 для монеты, которая выдаёт орла в 60% случаев.
