Что такое вероятность не более k успехов?
Этот калькулятор вычисляет кумулятивную биномиальную вероятность \(P(X \le k)\) — шанс получить не более k успехов в n независимых испытаниях, если каждое испытание оканчивается успехом с вероятностью p. Калькулятор суммирует отдельные биномиальные вероятности от 0 успехов до k включительно. По сути это левый хвост распределения, то есть функция распределения (CDF) биномиального закона.
Как пользоваться калькулятором
Укажите число испытаний n, порог k (максимально допустимое количество успехов) и вероятность успеха в одном испытании p — десятичной дробью от 0 до 1. В ответ калькулятор выдаст \(P(X \le k)\), её значение в процентах, дополнение \(P(X > k)\), а также ожидаемое число успехов \(np\).
Разбор формулы
Вероятность ровно i успехов задаётся биномиальным членом \(\binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}\), где \(\binom{n}{i}\) — число способов выбрать, какие именно i испытаний окажутся успешными. Чтобы получить «не более k», мы складываем эти члены для i = 0, 1, …, k:
$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}$$Калькулятор применяет численно устойчивую рекуррентную формулу между соседними членами, что сохраняет точность результата даже при больших n.
Пример расчёта
Допустим, вы подбрасываете честную монету 10 раз (\(n = 10\), \(p = 0.5\)) и хотите узнать вероятность выпадения не более 3 орлов (\(k = 3\)). Сложив члены для 0, 1, 2 и 3 успехов, получаем \(1 + 10 + 45 + 120 = 176\) благоприятных исходов из \(2^{10} = 1024\), поэтому $$P(X \le 3) = \frac{176}{1024} \approx 0.171875,$$ то есть примерно 17,19%.
Частые вопросы
Чем «не более k» отличается от «ровно k»? «Ровно k» — это единственный член \(\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\), тогда как «не более k» суммирует все члены от 0 до k.
Как получить «не менее k»? Используйте формулу \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\). Строка с дополнением в калькуляторе даёт \(P(X > k) = 1 - P(X \le k)\).
Может ли p равняться 0 или 1? Да. Если \(p = 0\), все испытания заканчиваются неудачей, поэтому \(P(X \le k) = 1\) для любого \(k \ge 0\); если \(p = 1\), все испытания успешны, и вероятность равна 1 только при \(k \ge n\).
