Калькулятор вероятности не менее k успехов (биномиальное распределение)

P(X = k) — ровно k успехов	0,117188
P(X ≤ k) at most k successes	0,171875

Что это за калькулятор «не менее k успехов»?

Этот инструмент вычисляет вероятность получить не менее k успехов в n независимых испытаниях, где каждое испытание заканчивается успехом с одинаковой вероятностью p. Это верхняя кумулятивная вероятность биномиального распределения, обозначаемая $P(X \geq k)$. Она широко применяется в контроле качества, проверке надёжности, A/B-тестировании, социологических опросах и в любых задачах, построенных на повторяющихся испытаниях «да/нет» (схема Бернулли).

Как пользоваться калькулятором

Введите три значения: число испытаний n (целое число), минимальное интересующее вас число успехов k и вероятность успеха в одном испытании p в виде десятичной дроби от 0 до 1 (например, 0,25 для 25%). Нажмите «Рассчитать», и вы увидите $P(X \geq k)$, это же значение в процентах, а также вероятность ровно k успехов $P(X = k)$ и нижний хвост $P(X \leq k)$.

Разбираем формулу

Вероятность ровно i успехов задаётся функцией биномиальной массы $C(n, i) \cdot p^{i} \cdot (1-p)^{n-i}$, где $C(n, i)$ — число способов выбрать, какие именно испытания окажутся успешными. Чтобы получить «не менее k», мы суммируем все слагаемые от $i = k$ до $i = n$:

$$P(X \geq k) = \sum_{i=k}^{n} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\,\left(1-p\right)^{n-i}$$

Для численной устойчивости калькулятор строит каждое слагаемое итеративно, а не вычисляет напрямую большие факториалы, поэтому результат остаётся точным даже при больших n.

Столбчатая диаграмма биномиального распределения с закрашенными столбцами от k до n, показывающими вероятность хвоста не менее k — $P(X \geq k)$ — это сумма закрашенных столбцов верхнего хвоста биномиального распределения.

Разбор примера

Допустим, вы подбрасываете честную монету ($p = 0{,}5$) 10 раз и хотите узнать вероятность выпадения не менее 6 «орлов». При $n = 10$, $k = 6$, $p = 0{,}5$ сумма слагаемых для $i = 6, 7, 8, 9, 10$ равна $$\frac{386}{1024} \approx \mathbf{0{,}376953}$$ то есть примерно 37,7%.

Схема, показывающая две монеты на каждое испытание с путями успеха и неудачи и комбинаторным выбором успехов — Каждое успешное испытание добавляет множитель $p$, а каждая неудача — множитель $(1-p)$, суммируя по всем способам выбрать i успехов.

Частые вопросы

Предполагается ли независимость испытаний? Да. Каждое испытание должно быть независимым и иметь одну и ту же вероятность успеха p.

Что если мне нужно ровно k или не более k? В таблице результатов для удобства также показаны $P(X = k)$ и $P(X \leq k)$.

Можно ли вводить p в процентах? Нет, указывайте p в виде десятичной дроби (например, 0,05 для 5%), а не как 5.

Интерпретация вашего результата

$P(X \geq k)$ — это односторонняя (верхняя хвостовая) вероятность: она отвечает на вопрос "если истинная вероятность успеха действительно равна $p$, как часто я бы увидел $k$ или более успехов в $n$ испытаниях просто случайно?" Она объединяет вместе все исходы от ровно $k$ успехов до всех $n$.

Малый результат — например ниже 0,05 — означает, что наблюдаемое количество успехов было бы удивительным при предполагаемом $p$. Это в точности логика, лежащая в основе одностороннего p-значения: если вы предполагаете базовую ставку и ваши данные приземляются далеко в хвост, предположение выглядит сомнительным. Большой результат означает, что количество заурядно и полностью согласуется с предполагаемым $p$.

A/B тестирование. Если коэффициент конверсии контроля равен $p$ и вариант дал $k$ из $n$ конверсий, $P(X \geq k)$ оценивает, может ли прирост быть просто шумом. Крошечная хвостовая вероятность — это свидетельство того, что вариант действительно отличается.
Контроль качества / приёмочная выборка. При предполагаемой доле дефектов $p$, $P(X \geq k)$ — это вероятность того, что партия покажет $k$ или более дефектных в выборке из $n$ — основу правил приёма/отклонения.
Надёжность "хотя бы один". Установка $k=1$ даёт вероятность того, что хотя бы одно событие произойдёт на протяжении $n$ независимых попыток.

Для больших $n$ биномиальный хвост часто аппроксимируется нормальным распределением, поэтому инструмент нормального верхнего хвоста может служить проверкой на здравый смысл после того, как $np$ и $n(1-p)$ оба удобно выше примерно 10. Рассматривайте число как описание того, насколько совместимы ваши данные с предполагаемым $p$; выбор порога для действия — это решение о дизайне исследования, а не то, что диктует вероятность сама по себе.

Определения и глоссарий

$n$ — количество испытаний: Фиксированное общее количество независимых повторений эксперимента (например 20 бросков монеты, 100 исследованных деталей).
$k$ — минимальное количество успехов: Пороговое значение, которое тестируется. $P(X \geq k)$ суммирует вероятности получения ровно $k, k+1, \dots, n$ успехов.
$p$ — вероятность успеха в одном испытании: Вероятность того, что любое одиночное испытание будет "успехом", предполагается одинаковой для каждого испытания. Она лежит между 0 и 1.
Испытание Бернулли: Одиночный эксперимент с ровно двумя исходами — успех (вероятность $p$) или неудача (вероятность $1-p$). Биномиальный сценарий — это $n$ идентичных, независимых испытаний Бернулли.
Биномиальный коэффициент $\binom{n}{i}$: "n выбрать i", количество различных способов расположить $i$ успехов среди $n$ испытаний: $\binom{n}{i} = \dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}$.
Кумулятивная / верхняя хвостовая вероятность: Вероятность, которая объединяет диапазон исходов. $P(X \geq k)$ — это верхний хвост — она складывает шансы всех подсчётов от $k$ до $n$. Её дополнение — это $P(X \leq k-1)$.
Независимость: Предположение, что исход одного испытания не влияет ни на какое другое. Без независимости (и постоянного $p$) биномиальная формула не применима.