什麼是「至少 k 次成功」二項分布計算機？
這個工具可以算出在 n 次獨立試驗中，至少出現 k 次成功的機率，前提是每次試驗成功的機率都相同，皆為 p。這就是二項分布的上尾累積機率，記作 \(P(X \geq k)\)。它廣泛應用於品質管制、可靠度測試、A/B 測試、民意調查，以及任何由重複「是／否」（白努利）試驗所構成的情境。
使用方法
輸入三個數值：試驗次數 n（必須為整數）、你關注的最少成功次數 k，以及每次試驗的成功機率 p，請以 0 到 1 之間的小數表示（例如 25% 就輸入 0.25）。按下「計算」後，即可看到 \(P(X \geq k)\)、換算成百分比的同一數值，以及恰好 k 次的機率 \(P(X = k)\) 與下尾機率 \(P(X \leq k)\)。
公式說明
恰好出現 i 次成功的機率，由二項機率質量函數給出：\(\binom{n}{i}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}\)，其中 \(\binom{n}{i}\) 代表從 n 次試驗中挑出哪幾次成功的組合數。要計算「至少 k 次」，我們把從 \(i = k\) 到 \(i = n\) 的每一項全部相加：
$$P(X \geq k) = \sum_{i=k}^{n} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\,\left(1-p\right)^{n-i}$$
本計算機採用逐項遞迴的方式建構每一項，而非直接計算龐大的階乘，藉此維持數值穩定性，即使 n 很大也能保持精確。
實例演算
假設你拋一枚公正硬幣（\(p = 0.5\)）共 10 次，想知道至少出現 6 次正面的機率。在 \(n = 10\)、\(k = 6\)、\(p = 0.5\) 的條件下，\(i = 6, 7, 8, 9, 10\) 各項之和為 $$\frac{386}{1024} \approx 0.376953$$ 約等於 37.7%。
解讀你的結果
\(P(X \geq k)\) 是一個單側（上尾）機率：它回答「如果真實成功率確實是 \(p\)，我在 \(n\) 次試驗中恰好看到 \(k\) 個或更多成功的機率是多少？」它將從恰好 \(k\) 個成功到全部 \(n\) 個的每一個結果都合併在一起。
較小的結果——例如低於 0.05——意味著觀察到的成功次數在假設的 \(p\) 下會令人驚訝。這正是單側 p 值背後的邏輯：如果你假設一個基準速率，而你的資料落在尾部很遠的地方，這個假設看起來就值得懷疑。較大的結果意味著該次數是平凡的，完全與假設的 \(p\) 相符。
- A/B 測試。如果對照組轉換率是 \(p\)，變體產生了 \(n\) 次轉換中的 \(k\) 次，\(P(X \geq k)\) 衡量該提升是否可能只是噪音。微小的尾部機率是該變體確實不同的證據。
- 品質控制／驗收抽樣。假設缺陷率為 \(p\)，\(P(X \geq k)\) 是一批在 \(n\) 個樣本中出現 \(k\) 個或更多缺陷品的機率——這是接受/拒絕規則的基礎。
- 可靠性「至少一個」。設定 \(k=1\) 得到在 \(n\) 次獨立嘗試中至少發生一個事件的機率。
對於大的 \(n\)，二項分佈尾部通常由常態分佈近似，因此一旦 \(np\) 和 \(n(1-p)\) 都舒適地超過約 10，常態上尾工具可以作為健全性檢查。將該數字視為描述你的資料與假設 \(p\) 的相容程度；選擇行動的閾值是研究設計決策，不是機率本身決定的事情。
定義與詞彙表
- \(n\) — 試驗次數
- 實驗重複的固定總次數（例如 20 次硬幣翻轉、100 個抽樣零件）。
- \(k\) — 最少成功次數
- 被測試的閾值。\(P(X \geq k)\) 將獲得恰好 \(k, k+1, \dots, n\) 個成功的機率相加。
- \(p\) — 單次試驗成功機率
- 任何單次試驗是「成功」的機率，假設對每次試驗都相同。它介於 0 和 1 之間。
- 柏努利試驗
- 一個實驗恰好有兩個結果——成功（機率 \(p\)）或失敗（機率 \(1-p\)）。二項設定是 \(n\) 個相同、獨立的柏努利試驗。
- 二項係數 \(\binom{n}{i}\)
- 「\(n\) 選 \(i\)」，在 \(n\) 次試驗中排列 \(i\) 個成功的不同方式數：\(\binom{n}{i} = \dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}\)。
- 累積／上尾機率
- 聚合一系列結果的機率。\(P(X \geq k)\) 是上尾——它加總了從 \(k\) 到 \(n\) 的所有次數的機率。它的補集是 \(P(X \leq k-1)\)。
- 獨立性
- 假設一次試驗的結果不影響任何其他試驗的假設。沒有獨立性（以及恆定的 \(p\)），二項公式不適用。
常見問題
這是否假設各次試驗彼此獨立？是的。每次試驗都必須相互獨立，且成功機率 p 皆相同。
如果我想算恰好 k 次或最多 k 次呢？結果表格同時也會顯示 \(P(X = k)\) 與 \(P(X \leq k)\)，方便你直接參考。
p 可以填百分比嗎？請將 p 以小數輸入（例如 5% 要填 0.05），而不是填 5。
