至少成功一次機率計算器｜n 次試驗成功率

至少成功一次的機率	65.1322%
完全沒有成功的機率	34.8678%
機率（小數）	0.348678 none / 0.651322 at least one

這個計算器能做什麼

這個工具可以計算當你重複進行某項獨立試驗 $n$ 次、且每次成功機率為 $p$ 時，至少成功一次的機率。它運用了「餘事件法則」：與其逐一加總恰好成功 1 次、2 次、3 次……的機率，不如直接算出完全沒有成功的機率，再用 1 去減，這樣計算簡單得多。

使用方法

請將每次試驗的成功機率 $p$ 以 0 到 1 之間的小數輸入（例如 10% 的機率就輸入 0.1），接著輸入試驗次數 $n$。計算器會回傳「至少成功一次」的機率、「完全沒有成功」的機率，並同時以百分比顯示這兩個結果。

公式說明

如果每次試驗失敗的機率為 $1-p$，那麼 $n$ 次獨立試驗全部失敗的機率就是 $\left(1-p\right)^{n}$。而「至少成功一次」這個事件，正好是「完全沒有成功」的相反，因此它的機率為：

$$P(\text{at least one}) = 1 - \left(1 - p\right)^{n}$$

此公式的前提是各次試驗彼此獨立，且每次的成功機率 $p$ 維持不變。

Diagram showing the complement rule: full probability bar split into 'all failures' and 'at least one success' regions — The complement rule: 'at least one success' equals the whole probability (1) minus the chance that every trial fails.

實際範例

假設某款拉霸遊戲每次轉動的中獎機率為 $p = 0.1$，而你總共轉了 $n = 10$ 次。那麼一次都沒中的機率為 $\left(1-0.1\right)^{10} = 0.9^{10} \approx 0.3487$。因此至少中獎一次的機率就是 $1 - 0.3487 \approx 0.6513$，約等於 65.13%。

Curve showing probability of at least one success rising toward 1 as number of trials n increases — As the number of trials n grows, the probability of at least one success climbs and approaches 1.

關鍵術語和變數

p — 單次試驗成功的概率: 單次試驗導致成功的概率，表示為 0 至 1 之間的小數（例如 0.25 表示 25% 的機率）。假定每次試驗的值相同。
n — 試驗次數: 執行的獨立重複次數。隨著 $n$ 增加，至少一次成功的概率會增加（或保持不變），趨近但永遠無法恰好達到 1。
獨立試驗: 試驗結果互不影響的情況；一次試驗的結果不會改變任何其他試驗的概率 $p$。獨立性允許將失敗概率相乘，得 $(1-p)^n$。
補集規則: $P(\text{事件}) = 1 - P(\text{非事件})$ 的原理。此處「至少一次成功」是「完全沒有成功」的補集，因此 $P(\ge 1) = 1 - P(\text{沒有成功})$。
P(≥1) — 至少一次成功的概率: 計算器傳回的數值：在給定 $n$ 次試驗中，一次或多次成功的機率，由 $1 - (1-p)^n$ 給出。
P(沒有成功): 每次試驗都失敗的概率，等於 $(1-p)^n$。將其從 1 中減去可得 $P(\ge 1)$。