Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la probabilidad de conseguir al menos un éxito cuando repites un experimento independiente n veces, donde cada intento tiene una probabilidad de éxito p. Para ello aplica la regla del complemento: en lugar de sumar las probabilidades de obtener exactamente 1, 2, 3, ... éxitos, resulta mucho más sencillo calcular la probabilidad de cero éxitos y restarla a 1.
Cómo usarla
Introduce la probabilidad de éxito por intento p como un decimal entre 0 y 1 (por ejemplo, 0,1 para una probabilidad del 10 %) y, a continuación, indica el número de intentos n. La calculadora te devuelve la probabilidad de al menos un éxito, la probabilidad de ningún éxito y ambas expresadas en porcentaje.
La fórmula explicada
Si cada intento falla con probabilidad \((1-p)\), entonces los n intentos independientes fallan todos con probabilidad \((1-p)^{n}\). El suceso «al menos un éxito» es justo lo contrario de «ningún éxito», así que su probabilidad es:
$$P(\geq 1) = 1 - \left(1 - p\right)^{n}$$
Esto presupone que los intentos son independientes y que la probabilidad p se mantiene constante en todos ellos.
Ejemplo resuelto
Imagina una tragaperras que da premio con probabilidad p = 0,1 en cada tirada y que juegas n = 10 veces. La probabilidad de no ganar nunca es $$(1-0{,}1)^{10} = 0{,}9^{10} \approx 0{,}3487.$$ Por tanto, la probabilidad de ganar al menos una vez es \(1 - 0{,}3487 \approx 0{,}6513\), es decir, alrededor del 65,13 %.
Términos y Variables Clave
- p — probabilidad de éxito por prueba
- La probabilidad de que una sola prueba resulte en un éxito, expresada como un decimal entre 0 y 1 (por ejemplo, 0,25 para una probabilidad del 25%). Se supone que es la misma para cada prueba.
- n — número de pruebas
- El número de repeticiones independientes realizadas. A medida que \(n\) aumenta, la probabilidad de al menos un éxito aumenta (o permanece igual), acercándose pero nunca alcanzando exactamente 1.
- Pruebas independientes
- Pruebas cuyos resultados no se influyen entre sí; el resultado de una prueba no cambia la probabilidad \(p\) en ninguna otra. La independencia es lo que permite que las probabilidades de fallo se multipliquen como \((1-p)^n\).
- Regla del complemento
- El principio de que \(P(\text{evento}) = 1 - P(\text{no evento})\). Aquí, "al menos un éxito" es el complemento de "ningún éxito en absoluto", por lo que \(P(\ge 1) = 1 - P(\text{sin éxitos})\).
- P(≥1) — probabilidad de al menos un éxito
- La cantidad que devuelve esta calculadora: la probabilidad de que una o más de las \(n\) pruebas tenga éxito, dada por \(1 - (1-p)^n\).
- P(sin éxitos)
- La probabilidad de que todas las pruebas fracasen, igual a \((1-p)^n\). Restar esto de 1 da \(P(\ge 1)\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué no basta con sumar la probabilidad de cada intento? Sumar las probabilidades cuenta dos veces los resultados que se solapan y puede dar un valor superior a 1. La regla del complemento evita ese problema por completo.
¿Y si p está en porcentaje? Conviértelo primero a decimal: un 25 % se convierte en 0,25.
¿Hace falta que los intentos sean independientes? Sí. Si los intentos se influyen entre sí (sin reposición, con probabilidades cambiantes), esta fórmula sencilla deja de ser exacta.
