この計算ツールでできること
このツールは、成功確率 \(p\) の独立した試行を \(n\) 回くり返したときに、少なくとも1回成功する確率を計算します。使うのは「余事象の法則」です。ちょうど1回、2回、3回……と成功するそれぞれの確率を足し合わせるのは大変ですが、その代わりに「1回も成功しない」確率を求めて1から引くだけなら、はるかに簡単に計算できます。
使い方
まず1回あたりの成功確率 \(p\) を 0〜1 の小数で入力します（たとえば10%なら 0.1）。次に試行回数 \(n\) を入力してください。計算ツールは、少なくとも1回成功する確率、1回も成功しない確率、そしてその両方をパーセント表示で返します。
公式の解説
1回の試行が失敗する確率が \((1-p)\) なら、\(n\) 回すべての独立試行がすべて失敗する確率は \((1-p)^{n}\) です。「少なくとも1回成功する」という事象は「1回も成功しない」のちょうど反対なので、その確率は次のように表せます。
$$P(\geq 1) = 1 - (1-p)^{n}$$
これは、各試行が独立しており、成功確率 \(p\) が試行を通じて一定であることを前提としています。
計算例
あるスロットゲームが1回のスピンで当たる確率を \(p = 0.1\)、スピン回数を \(n = 10\) 回とします。1度も当たらない確率は \((1-0.1)^{10} = 0.9^{10} \approx 0.3487\) です。したがって少なくとも1回当たる確率は \(1 - 0.3487 \approx 0.6513\)、つまり約 65.13% となります。
主要な用語と変数
- p — 試行ごとの成功確率
- 単一の試行が成功する確率で、0から1の間の小数で表現されます（例えば25%の確率であれば0.25）。すべての試行において同じであると仮定されます。
- n — 試行の回数
- 実行される独立した反復の数です。\(n\)が増加すると、少なくとも1つの成功の確率は増加し（または同じままで）、1に近づきますが、正確に1に到達することはありません。
- 独立試行
- 結果が互いに影響しない試行です。1つの試行の結果は他の試行における確率\(p\)を変えません。独立性があるため、失敗確率を\((1-p)^n\)として乗算することができます。
- 補集合の法則
- \(P(\text{事象}) = 1 - P(\text{事象ではない})\)という原則です。ここで、「少なくとも1つの成功」は「全く成功しない」の補集合であるため、\(P(\ge 1) = 1 - P(\text{成功なし})\)となります。
- P(≥1) — 少なくとも1つの成功の確率
- このCalculatorが返す量です。\(n\)回の試行のうち1つ以上が成功する確率で、\(1 - (1-p)^n\)で与えられます。
- P(成功なし)
- すべての試行が失敗する確率で、\((1-p)^n\)に等しいです。これを1から減算するとP(\ge 1)が得られます。
よくある質問
なぜ各試行の確率を単純に足してはいけないの？ 確率をそのまま足すと、重なり合う結果を二重に数えてしまい、合計が1を超えることもあります。余事象の法則を使えば、この問題を完全に回避できます。
\(p\) がパーセントで与えられている場合は？ まず小数に直してください。25% なら 0.25 になります。
試行は独立していないとダメ？ はい。試行どうしが影響し合う場合（非復元抽出や、確率が変化する場合など）は、この単純な公式はそのままでは正確に当てはまりません。
