Tính Xác Suất Có Ít Nhất 1 Lần Thành Công Trong n Lần Thử

Xác suất có ít nhất một lần thành công	65,1322%
Xác suất không thành công lần nào	34,8678%
Xác suất (số thập phân)	0,348678 none / 0,651322 at least one

Công cụ này dùng để làm gì

Công cụ tính xác suất để bạn có ít nhất một lần thành công khi lặp lại một phép thử độc lập n lần, trong đó mỗi lần thử có xác suất thành công là p. Cách tính dựa trên quy tắc phần bù: thay vì cộng dồn xác suất của trường hợp thành công đúng 1 lần, 2 lần, 3 lần,... thì việc tính xác suất không thành công lần nào rồi lấy 1 trừ đi sẽ đơn giản hơn rất nhiều.

Cách sử dụng

Nhập xác suất thành công cho mỗi lần thử p dưới dạng số thập phân từ 0 đến 1 (ví dụ 0,1 tương ứng với 10% khả năng), sau đó nhập số lần thử n. Công cụ sẽ trả về xác suất có ít nhất một lần thành công, xác suất không thành công lần nào, và cả hai giá trị này dưới dạng phần trăm.

Giải thích công thức

Nếu mỗi lần thử thất bại với xác suất $(1-p)$, thì cả n lần thử độc lập đều thất bại với xác suất $(1-p)^{n}$. Biến cố "có ít nhất một lần thành công" chính là biến cố đối lập của "không thành công lần nào", nên xác suất của nó là:

$$P(\geq 1) = 1 - \left(1 - p\right)^{n}$$

Công thức này giả định các lần thử là độc lập với nhau và xác suất p giữ nguyên không đổi qua mọi lần thử.

Quảng cáo

Diagram showing the complement rule: full probability bar split into 'all failures' and 'at least one success' regions — The complement rule: 'at least one success' equals the whole probability (1) minus the chance that every trial fails.

Ví dụ minh họa

Giả sử một trò chơi quay số có xác suất thắng là $p = 0{,}1$ cho mỗi lần quay, và bạn quay $n = 10$ lần. Xác suất không bao giờ thắng là $$(1-0{,}1)^{10} = 0{,}9^{10} \approx 0{,}3487.$$ Vậy xác suất thắng ít nhất một lần là $$1 - 0{,}3487 \approx 0{,}6513,$$ tức khoảng 65,13%.

Quảng cáo

Curve showing probability of at least one success rising toward 1 as number of trials n increases — As the number of trials n grows, the probability of at least one success climbs and approaches 1.

Các Thuật Ngữ và Biến Chính

p — xác suất thành công trên mỗi lần thử: Xác suất mà một lần thử duy nhất dẫn đến thành công, được biểu diễn dưới dạng số thập phân từ 0 đến 1 (ví dụ 0,25 cho khả năng 25%). Giả định rằng nó giống nhau cho mỗi lần thử.
n — số lần thử: Số lượng các lần lặp lại độc lập được thực hiện. Khi $n$ tăng, xác suất có ít nhất một thành công tăng (hoặc giữ nguyên), tiến gần đến nhưng không bao giờ chính xác đạt tới 1.
Các lần thử độc lập: Các lần thử mà kết quả của chúng không ảnh hưởng lẫn nhau; kết quả của một lần thử không làm thay đổi xác suất $p$ trên bất kỳ lần thử nào khác. Tính độc lập là những gì cho phép các xác suất thất bại được nhân với nhau dưới dạng $(1-p)^n$.
Quy tắc phần bù: Nguyên tắc rằng $P(\text{sự kiện}) = 1 - P(\text{không phải sự kiện})$. Ở đây, "ít nhất một thành công" là phần bù của "không có thành công nào cả", đó là lý do tại sao $P(\ge 1) = 1 - P(\text{không có thành công})$.
P(≥1) — xác suất có ít nhất một thành công: Đại lượng mà máy tính này trả về: khả năng mà một hoặc nhiều trong số $n$ lần thử thành công, được cho bởi $1 - (1-p)^n$.
P(không có thành công): Xác suất mà mọi lần thử đều thất bại, bằng $(1-p)^n$. Trừ đại lượng này từ 1 cho ta $P(\ge 1)$.

Câu hỏi thường gặp

Tại sao không cộng thẳng xác suất của từng lần thử? Việc cộng các xác suất lại sẽ tính trùng những kết quả chồng lấn và có thể cho ra giá trị vượt quá 1. Quy tắc phần bù giúp tránh hoàn toàn vấn đề này.

Nếu p ở dạng phần trăm thì sao? Hãy đổi sang dạng số thập phân trước — 25% sẽ thành 0,25.

Có bắt buộc các lần thử phải độc lập không? Có. Nếu các lần thử ảnh hưởng lẫn nhau (chẳng hạn lấy ra không hoàn lại, xác suất thay đổi), thì công thức đơn giản này không còn áp dụng chính xác nữa.