이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
이 도구는 성공 확률이 p인 독립 시행을 n번 반복했을 때 최소 한 번 이상 성공할 확률을 계산합니다. 핵심은 여사건 법칙입니다. 정확히 1번, 2번, 3번… 성공할 확률을 일일이 더하는 대신, 한 번도 성공하지 못할 확률을 구해 1에서 빼는 방식이 훨씬 간단합니다.
사용 방법
먼저 한 번의 시행당 성공 확률 \(p\)를 0과 1 사이의 소수로 입력하세요(예: 10%라면 0.1). 그다음 시행 횟수 \(n\)을 입력합니다. 계산기는 최소 1회 성공할 확률, 한 번도 성공하지 못할 확률, 그리고 두 값을 백분율로 함께 보여줍니다.
공식 풀이
한 번의 시행이 실패할 확률이 \((1-p)\)라면, 독립적인 n번의 시행이 모두 실패할 확률은 \((1-p)^{n}\)이 됩니다. "최소 1회 성공"은 "한 번도 성공하지 못함"의 정확한 반대 사건이므로, 그 확률은 다음과 같습니다.
$$P(\geq 1) = 1 - \left(1 - p\right)^{n}$$
이 공식은 각 시행이 서로 독립이고, 성공 확률 \(p\)가 모든 시행에서 일정하게 유지된다는 것을 전제로 합니다.
예제로 보기
한 번 돌릴 때마다 당첨 확률이 \(p = 0.1\)인 슬롯 게임을 \(n = 10\)번 돌린다고 가정해 봅시다. 한 번도 당첨되지 않을 확률은 $$(1-0.1)^{10} = 0.9^{10} \approx 0.3487$$입니다. 따라서 최소 한 번 당첨될 확률은 $$1 - 0.3487 \approx 0.6513$$ 약 65.13%가 됩니다.
주요 용어 및 변수
- p — 시행당 성공 확률
- 단일 시행이 성공할 확률을 0과 1 사이의 소수로 표현한 것입니다(예: 25% 확률은 0.25). 모든 시행에서 동일하다고 가정합니다.
- n — 시행 횟수
- 수행된 독립적인 반복의 개수입니다. \(n\)이 증가할수록 최소 한 번의 성공 확률은 증가하며(또는 동일하게 유지되며), 1에 접근하지만 정확히 1에 도달하지는 않습니다.
- 독립적인 시행
- 결과가 서로 영향을 미치지 않는 시행입니다. 한 시행의 결과는 다른 시행의 확률 \(p\)를 변경하지 않습니다. 독립성은 실패 확률을 \((1-p)^n\)과 같이 곱할 수 있게 해줍니다.
- 여사건 규칙
- \(P(\text{사건}) = 1 - P(\text{사건 아님})\)의 원칙입니다. 여기서 "최소 한 번의 성공"은 "전혀 성공하지 않음"의 여사건이므로, \(P(\ge 1) = 1 - P(\text{성공 없음})\)입니다.
- P(≥1) — 최소 한 번의 성공 확률
- 이 계산기가 반환하는 값으로, \(n\)번의 시행 중 하나 이상이 성공할 확률이며, \(1 - (1-p)^n\)으로 주어집니다.
- P(성공 없음)
- 모든 시행이 실패할 확률로, \((1-p)^n\)과 같습니다. 이를 1에서 빼면 \(P(\ge 1)\)을 얻습니다.
자주 묻는 질문
그냥 각 시행의 확률을 더하면 안 되나요? 확률을 단순히 더하면 겹치는 결과가 중복으로 계산되어 합이 1을 넘어버릴 수 있습니다. 여사건 법칙을 쓰면 이런 문제가 아예 생기지 않습니다.
p가 백분율로 주어졌다면요? 먼저 소수로 바꿔주세요. 예를 들어 25%는 0.25가 됩니다.
반드시 독립 시행이어야 하나요? 네. 시행들이 서로 영향을 주는 경우(비복원 추출, 확률이 변하는 상황 등)에는 이 단순한 공식이 정확히 들어맞지 않습니다.
