Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, her birinin başarı olasılığı \(p\) olan bağımsız bir denemeyi \(n\) kez tekrarladığınızda en az bir başarı elde etme olasılığını hesaplar. Bunu yaparken tümleyen (complement) kuralından yararlanır: tam olarak 1, 2, 3, ... başarı olasılıklarını tek tek toplamak yerine, hiç başarı olmama olasılığını bulup 1'den çıkarmak çok daha kolaydır.
Nasıl kullanılır?
Her bir denemenin başarı olasılığı \(p\)'yi 0 ile 1 arasında ondalık olarak girin (örneğin %10 şans için 0,1), ardından deneme sayısı \(n\)'i yazın. Hesaplayıcı; en az bir başarı olasılığını, hiç başarı olmama olasılığını ve her ikisini yüzde cinsinden döndürür.
Formülün açıklaması
Her bir deneme \((1-p)\) olasılıkla başarısız oluyorsa, \(n\) bağımsız denemenin tamamının başarısız olma olasılığı \((1-p)^{n}\) olur. "En az bir başarı" olayı, "hiç başarı yok" olayının tam tersidir; dolayısıyla olasılığı şudur:
$$P(\text{en az bir}) = 1 - \left(1 - p\right)^{n}$$Bu formül, denemelerin bağımsız olduğunu ve \(p\) olasılığının tüm denemeler boyunca sabit kaldığını varsayar.
Çözümlü örnek
Diyelim ki bir slot oyunu her çevirmede \(p = 0{,}1\) olasılıkla kazandırıyor ve siz \(n = 10\) kez çeviriyorsunuz. Hiç kazanmama olasılığı \((1-0{,}1)^{10} = 0{,}9^{10} \approx 0{,}3487\) olur. Buna göre en az bir kez kazanma olasılığı \(1 - 0{,}3487 \approx 0{,}6513\), yani yaklaşık %65,13'tür.
Ana Terimler ve Değişkenler
- p — deneme başına başarı olasılığı
- Tek bir deneyin başarı ile sonuçlanma olasılığı, 0 ile 1 arasında bir ondalık sayı olarak ifade edilir (örneğin %25 şans için 0.25). Her deneme için aynı olduğu varsayılır.
- n — deneme sayısı
- Gerçekleştirilen bağımsız tekrarlamaların sayısı. \(n\) arttıkça, en az bir başarı olasılığı artar (veya aynı kalır) ve 1'e yaklaşır ama asla tam olarak 1'e ulaşmaz.
- Bağımsız denemeler
- Sonuçları birbirini etkilemeyen denemeler; bir deneyin sonucu başka bir denemedeki \(p\) olasılığını değiştirmez. Bağımsızlık, başarısızlık olasılıklarının \((1-p)^n\) şeklinde çarpılmasına izin verir.
- Tümleyen kuralı
- \(P(\text{olay}) = 1 - P(\text{olay değil})\) ilkesi. Burada "en az bir başarı", "hiç başarı yok"un tümleyenidir, bu yüzden \(P(\ge 1) = 1 - P(\text{başarı yok})\).
- P(≥1) — en az bir başarı olasılığı
- Bu hesaplayıcının döndürdüğü miktar: \(n\) denemenin bir veya daha fazlasının başarılı olma şansı, \(1 - (1-p)^n\) ile verilir.
- P(başarı yok)
- Her deneyin başarısız olma olasılığı, \((1-p)^n\) eşittir. Bunu 1'den çıkarmak \(P(\ge 1)\) verir.
Sıkça sorulan sorular
Neden her denemenin olasılığını toplayamıyorum? Olasılıkları toplamak, üst üste binen sonuçları iki kez saydırır ve toplam 1'i aşabilir. Tümleyen kuralı bu sorunu tamamen ortadan kaldırır.
p bir yüzde olarak verilmişse ne yapmalıyım? Önce ondalığa çevirin — %25, 0,25'e dönüşür.
Denemelerin bağımsız olması şart mı? Evet. Denemeler birbirini etkiliyorsa (iadesiz seçim, değişen olasılıklar), bu basit formül artık tam olarak geçerli olmaz.
