En Az k Başarı Olasılığı (Binom Dağılımı) Hesaplama

P(X = k) tam olarak k başarı	0,117188
P(X ≤ k) at most k successes	0,171875

"En Az k Başarı" Binom Hesaplayıcısı Nedir?

Bu araç, her birinin aynı p olasılığıyla başarılı olduğu n bağımsız denemede en az k başarı elde etme olasılığını hesaplar. Bu, binom dağılımının üst kuyruk kümülatif olasılığıdır ve $P(X \geq k)$ şeklinde gösterilir. Kalite kontrolü, güvenilirlik testleri, A/B testleri, anket çalışmaları ve tekrarlanan evet/hayır (Bernoulli) denemelerine dayanan her durumda yaygın olarak kullanılır.

Nasıl Kullanılır?

Üç değer girin: deneme sayısı n (tam sayı), ilgilendiğiniz minimum başarı sayısı k ve deneme başına başarı olasılığı p (0 ile 1 arasında ondalık bir sayı; örneğin %25 için 0,25). Hesapla düğmesine bastığınızda $P(X \geq k)$ değerini, aynı değerin yüzdelik karşılığını, ayrıca tam olarak k başarı olasılığı $P(X = k)$ ile alt kuyruk olasılığı $P(X \leq k)$ değerlerini görürsünüz.

Formülün Açıklaması

Tam olarak i başarı elde etme olasılığı, binom kütle fonksiyonu olan $\binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{n-i}$ ile verilir; burada $\binom{n}{i}$, hangi denemelerin başarılı olacağını seçme yöntemlerinin sayısıdır. "En az k" sonucunu bulmak için $i = k$'den $i = n$'e kadar olan tüm terimleri toplarız:

$$P(X \geq k) = \sum_{i=k}^{n} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\, \left(1-p\right)^{n-i}$$

Hesaplayıcı, büyük faktöriyelleri doğrudan hesaplamak yerine her terimi adım adım (iteratif) oluşturur; böylece sayısal kararlılığı korur ve büyük n değerlerinde bile doğru sonuç verir.

Reklam

En az k kuyruk olasılığını göstermek için k'dan n'ye kadar çubukları gölgeli olan binom dağılımı çubuk grafiği — $P(X \geq k)$, binom dağılımının üst kuyruğundaki gölgeli çubukların toplamıdır.

Çözümlü Örnek

Hilesiz bir parayı ($p = 0{,}5$) 10 kez attığınızı ve en az 6 kez tura gelme olasılığını öğrenmek istediğinizi varsayalım. $n = 10$, $k = 6$, $p = 0{,}5$ değerleriyle, $i = 6, 7, 8, 9, 10$ için terimlerin toplamı $386/1024 \approx$ 0,376953'e, yani yaklaşık %37,7'ye eşittir.

Her deneme için iki para, başarı ve başarısızlık yollarını ve başarıların kombinatoryal seçimini gösteren diyagram — Her başarılı deneme bir $p$ çarpanı, her başarısızlık bir $(1-p)$ çarpanı katar; $i$ başarıyı seçmenin tüm yolları üzerinden toplanır.

Sonuçunuzu Yorumlama

$P(X \geq k)$ bir tek yönlü (üst kuyruk) olasılıktır: "gerçek başarı oranı gerçekten $p$ ise, sadece şans eseri $n$ deneme içinde $k$ veya daha fazla başarı görmek ne sıklıkta meydana gelir?" sorusuna yanıt verir. Tam olarak $k$ başarıdan tüm $n$ başarısına kadar olan her sonucu bir araya getirir.

Küçük bir sonuç — örneğin 0,05'in altında — gözlenen başarı sayısının varsayılan $p$ altında şaşırtıcı olacağı anlamına gelir. Bu tam olarak tek yönlü p-değeri arkasındaki mantıktır: bir temel oran varsayarsanız ve verileriniz kuyruğun uzağında yer alırsa, varsayım şüpheli görünür. Büyük bir sonuç, sayının olağan olduğu ve varsayılan $p$ ile tamamen tutarlı olduğu anlamına gelir.

A/B testi. Kontrol dönüşüm oranı $p$ ve varyant $n$ içinde $k$ dönüşüm ürettiği takdirde, $P(X \geq k)$ kaldırmanın sadece gürültü olup olmadığını ölçer. Çok küçük bir kuyruk olasılığı, varyantın gerçekten farklı olduğuna dair kanıttır.
Kalite kontrolü / kabul örneklemesi. Varsayılan bir kusur oranı $p$ ile, $P(X \geq k)$ bir lot'un $n$ örneğinde $k$ veya daha fazla kusurlu gösterme şansı — kabul et/reddet kurallarının temeli.
Güvenilirlik "en az bir". $k=1$ olarak ayarlandığında, $n$ bağımsız denemede en az bir olayın meydana gelme olasılığını verir.

$n$ büyük olduğunda, binom kuyruk genellikle bir normal dağılım tarafından yaklaşıklandırılır, bu nedenle $np$ ve $n(1-p)$ her ikisi de yaklaşık 10'un üzerinde rahatça yer aldığında normal üst kuyruk aracı bir akılcılık kontrolü olarak hizmet edebilir. Sayıyı, verilerinizin varsayılan $p$ ile ne kadar uyumlu olduğunun bir açıklaması olarak işleyin; eylem için bir eşik seçmek bir araştırma tasarımı kararıdır, olasılığın kendi başına dikte ettiği bir şey değildir.

Reklam

Tanımlar ve Sözlük

$n$ — deneme sayısı: Deneyin bağımsız tekrarlamalarının sabit toplam sayısı (örneğin 20 yazı tura atması, 100 örneklenen parça).
$k$ — minimum başarı sayısı: Test edilen eşik. $P(X \geq k)$ tam olarak $k, k+1, \dots, n$ başarı olasılıklarını toplar.
$p$ — deneme başına başarı olasılığı: Herhangi bir denemenin "başarı" olma olasılığı, her deneme için aynı olduğu varsayılır. 0 ile 1 arasında yer alır.
Bernoulli deneyimi: Tam olarak iki sonucu olan tek bir deney — başarı (olasılık $p$) veya başarısızlık (olasılık $1-p$). Bir binom ayarı $n$ özdeş, bağımsız Bernoulli denemesidir.
Binom katsayısı $\binom{n}{i}$: "$n$ değerinden $i$ seç," $n$ deneme arasında $i$ başarısını düzenlemenin farklı yollarının sayısı: $\binom{n}{i} = \dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}$.
Kümülatif / üst kuyruk olasılığı: Bir dizi sonucu bir araya getiren bir olasılık. $P(X \geq k)$ üst kuyruk — $k$ ile $n$ arasındaki tüm sayıların şanslarını ekler. Tümleyeni $P(X \leq k-1)$ dir.
Bağımsızlık: Bir denemenin sonucunun başka herhangi biri etkilemediği varsayımı. Bağımsızlık olmadan (ve sabit $p$ olmadan), binom formülü uygulanmaz.