ما هي حاسبة احتمال «k نجاح على الأقل» في التوزيع ذي الحدين؟

تحسب هذه الأداة احتمال الحصول على k نجاح على الأقل ضمن n محاولة مستقلة، بحيث تنجح كل محاولة باحتمال ثابت قدره p. وهذا ما يُعرف بالاحتمال التراكمي للطرف العلوي في التوزيع ذي الحدين، ويُرمز له بالصيغة $P(X \geq k)$. ويُستخدم على نطاق واسع في مراقبة الجودة، واختبارات الموثوقية، واختبارات A/B، واستطلاعات الرأي، وفي أي موقف يقوم على تكرار تجارب من نوع «نعم/لا» (تجارب برنولي).

كيفية الاستخدام

أدخل ثلاث قيم: عدد المحاولات n (عدد صحيح)، والحد الأدنى لعدد النجاحات k الذي يهمّك، واحتمال النجاح في المحاولة الواحدة p كقيمة عشرية بين 0 و1 (مثلاً 0.25 للدلالة على 25٪). ثم اضغط على زر الحساب لتظهر لك القيمة $P(X \geq k)$، والقيمة نفسها بصيغة نسبة مئوية، إضافة إلى احتمال تحقيق k بالضبط $P(X = k)$ واحتمال الطرف السفلي $P(X \leq k)$.

شرح المعادلة

احتمال تحقيق i نجاحاً بالضبط يُعطى بدالة الكتلة للتوزيع ذي الحدين $\binom{n}{i} \cdot p^{i} \cdot (1-p)^{n-i}$، حيث يمثّل $\binom{n}{i}$ عدد الطرق الممكنة لاختيار المحاولات الناجحة. وللحصول على احتمال «k نجاح على الأقل»، نجمع كل الحدود ابتداءً من $i = k$ وحتى $i = n$:

$$P(X \geq k) = \sum_{i=k}^{n} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\,\left(1-p\right)^{n-i}$$

تبني الحاسبة كل حدّ بشكل تكراري حفاظاً على الاستقرار العددي، بدلاً من حساب المضاريب (العوامل) الكبيرة مباشرةً، وبذلك تبقى النتائج دقيقة حتى مع القيم الكبيرة لـ n.

اعلان

مخطط أعمدة لتوزيع ذي حدين مع تظليل الأعمدة من k إلى n لإظهار احتمال ذيل لا يقل عن k — ‏$P(X \geq k)$ هي مجموع الأعمدة المظللة في الذيل العلوي للتوزيع ذي الحدين.

مثال محلول

لنفترض أنك ترمي قطعة نقود متزنة ($p = 0.5$) عشر مرات وتريد معرفة احتمال الحصول على 6 صور (وجوه) على الأقل. مع $n = 10$ و$k = 6$ و$p = 0.5$، فإن مجموع الحدود عند $i = 6$ و7 و8 و9 و10 يساوي $386/1024 \approx$ 0.376953، أي نحو 37.7٪.

رسم يوضح عملتين لكل تجربة مع مسارات النجاح والفشل والاختيار التوافقي للنجاحات — كل تجربة ناجحة تسهم بعامل $p$ وكل فشل بعامل $(1-p)$، مجموعة على جميع طرق اختيار i من النجاحات.

تفسير نتيجتك

$P(X \geq k)$ هو احتمال أحادي الجانب (الذيل العلوي): يجيب على سؤال "إذا كان معدل النجاح الفعلي حقاً $p$، كم مرة سأشاهد $k$ أو أكثر من النجاحات في $n$ محاولة، مجرد بالصدفة؟" إنه يجمع معاً كل نتيجة من النجاحات بالضبط $k$ حتى كل $n$.

النتيجة الصغيرة — على سبيل المثال أقل من 0.05 — تعني أن العدد المرصود من النجاحات سيكون مفاجئاً في ظل افتراض $p$. هذا هو بالضبط المنطق وراء قيمة p أحادية الجانب: إذا افترضت معدل أساسي وهبطت بياناتك بعيداً في الذيل، فإن الافتراض يبدو مشكوكاً فيه. النتيجة الكبيرة تعني أن العدد عادي وتماماً متسق مع افتراض $p$.

اختبار أ/ب. إذا كان معدل تحويل المراقبة $p$ وأنتج المتغير $k$ من $n$ تحويلات، فإن $P(X \geq k)$ يقيس ما إذا كانت الزيادة يمكن أن تكون مجرد ضوضاء. احتمال ذيل صغير جداً هو دليل على أن المتغير يختلف فعلاً.
مراقبة الجودة / أخذ العينات قبول القبول. مع افتراض معدل العيب $p$، فإن $P(X \geq k)$ هو فرصة أن تظهر الدفعة $k$ أو أكثر من المعيبة في عينة من $n$ — أساس قواعد القبول/الرفض.
الموثوقية "واحد على الأقل". تعيين $k=1$ يعطي احتمال حدوث حدث واحد على الأقل عبر $n$ محاولات مستقلة.

بالنسبة لـ $n$ الكبيرة، غالباً ما يتم تقريب ذيل ثنائي الحد من خلال توزيع عادي، لذا فإن أداة الذيل العلوي العادية يمكن أن تعمل كفحص معقول مرة واحدة $np$ و $n(1-p)$ على حد سواء مريحة فوق حوالي 10. تعامل مع الرقم كوصف لكيفية توافق بياناتك مع افتراض $p$؛ اختيار حد للعمل هو قرار تصميم الدراسة، وليس شيء يحدده الاحتمال بمفرده.

اعلان

التعاريف والمسرد

$n$ — عدد المحاولات: العدد الإجمالي الثابت من التكرارات المستقلة للتجربة (على سبيل المثال 20 رمية عملة، 100 جزء معروض).
$k$ — الحد الأدنى لعدد النجاحات: الحد الأدنى الذي يتم اختباره. $P(X \geq k)$ يجمع احتمالات الحصول على $k, k+1, \dots, n$ نجاحات بالضبط.
$p$ — احتمال النجاح في كل محاولة: احتمال أن تكون أي محاولة واحدة "نجاح"، يُفترض أن تكون متطابقة لكل محاولة. إنها تقع بين 0 و 1.
محاولة برنولي: تجربة واحدة لها بالضبط نتيجتان — النجاح (احتمال $p$) أو الفشل (احتمال $1-p$). الإعداد ثنائي الحد هو $n$ محاولات برنولي متطابقة ومستقلة.
معامل ثنائي الحد $\binom{n}{i}$: "$n$ اختر $i$"، عدد الطرق المميزة لترتيب $i$ نجاحات بين $n$ محاولة: $\binom{n}{i} = \dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}$.
الاحتمال التراكمي / الذيل العلوي: احتمال يجمع مجموعة من النتائج. $P(X \geq k)$ هو الذيل العلوي — يضيف فرص كل الأعداد من $k$ حتى $n$. متمنه هو $P(X \leq k-1)$.
الاستقلال: الافتراض بأن نتيجة محاولة واحدة لا تؤثر على أي محاولة أخرى. بدون الاستقلال (و $p$ ثابت)، لا تنطبق صيغة ثنائي الحد.

الأسئلة الشائعة

هل تفترض الحاسبة أن المحاولات مستقلة؟ نعم. يجب أن تكون كل محاولة مستقلة عن الأخرى وأن يكون احتمال النجاح فيها p ثابتاً.

ماذا لو أردت تحقيق k بالضبط أو k على الأكثر؟ يعرض جدول النتائج أيضاً القيمتين $P(X = k)$ و$P(X \leq k)$ لمزيد من السهولة.

هل يمكن إدخال p كنسبة مئوية؟ أدخل p كقيمة عشرية (مثلاً 0.05 للدلالة على 5٪)، وليس كرقم 5.

P(X = k) تحقيق k نجاح بالضبط	٠٫١١٧١٨٨
P(X ≤ k) at most k successes	٠٫١٧١٨٧٥

احتمال تحقيق k نجاح على الأقل (التوزيع ذو الحدين)

أدخل الحساب

صيغة رياضية

نتائج