حاسبة الاحتمال الثنائي P(X=k)

المحاولات (n)	١٠
النجاحات (k)	٤
التوافيق C(n,k)	٢١٠

ما هو الاحتمال الثنائي؟

يُعطي الاحتمال الثنائي فرصة الحصول على عدد k من النجاحات بالضبط ضمن عدد ثابت من المحاولات المستقلة قدره n، بحيث تنجح كل محاولة بالاحتمال نفسه p. وينطبق هذا على أي تجربة من نوع «نعم/لا» تتكرر في ظروف متطابقة — كرمي قطعة نقدية، أو محاولات التسديد الحرة في كرة السلة، أو القطع المعيبة على خط الإنتاج، أو الإجابات في استبيان رأي.

مخطط أعمدة لتوزيع احتمالي ذي حدين مع تمييز أحد الأعمدة — يُظهر التوزيع ذو الحدين احتمال كل عدد ممكن من النجاحات، مع تمييز $P(X=k)$.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل عدد المحاولات ($n$)، وعدد النجاحات الذي تريد حساب احتماله ($k$)، واحتمال النجاح في المحاولة الواحدة ($p$) على هيئة كسر عشري بين 0 و1. تعرض لك الحاسبة الاحتمال الدقيق $P(X=k)$، والقيمة نفسها كنسبة مئوية، إضافة إلى معامل التوزيع الثنائي $C(n,k)$ المستخدَم في الحساب.

شرح الصيغة

تتكوّن الصيغة

$$P(X=k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$

من ثلاثة أجزاء. يحسب المقدار $C(n,k)$ عدد الترتيبات المختلفة الممكنة لتوزيع $k$ نجاحًا بين $n$ محاولة. أمّا الحدّ $p^{k}$ فهو احتمال وقوع تلك النجاحات الـ $k$، والحدّ $\left(1-p\right)^{n-k}$ هو احتمال أن تفشل بقية المحاولات الـ $n-k$ جميعها. وبضرب هذه المقادير معًا نحصل على الاحتمال الكلي لذلك العدد المحدد بالضبط.

اعلان

رسم تخطيطي يقسّم الصيغة ذات الحدين إلى أجزائها الثلاثة — تجمع الصيغة بين عدد الطرق للحصول على $k$ نجاحات واحتمالات النجاح والفشل.

مثال محلول

لنرمِ قطعة نقدية متزنة 10 مرات ($n=10$، $p=0.5$). ما احتمال ظهور 4 وجوه بالضبط ($k=4$)؟ بما أنّ $C(10,4) = 210$، فإنّ

$$P = 210 \times 0.5^{4} \times 0.5^{6} = 210 \times 0.5^{10} = 210 \div 1024 \approx 0.2051$$

أي نحو 20.51%.

كيفية حساب احتمال ذي الحدين يدويًا

اتبع هذه الخطوات لتقييم $P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}$ لأي مدخلات صحيحة.

تحقق من $k \le n$. لا يمكن أن يتجاوز عدد النجاحات $k$ عدد المحاولات $n$، وكلاهما يجب أن يكون عدداً صحيحاً غير سالب. إذا كان $k > n$، فإن الاحتمال يساوي 0. تأكد أيضاً من أن $0 \le p \le 1$.
احسب معامل ذي الحدين $\binom{n}{k}$. استخدم $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$. هذا يعد عدد الطرق المختلفة لترتيب $k$ نجاحات بين $n$ محاولة.
ارفع $p$ للأس $k$. احسب $p^{k}$، وهو احتمال حدوث $k$ نجاحات محددة.
ارفع $(1-p)$ للأس $n-k$. احسب $(1-p)^{n-k}$، وهو احتمال أن تكون جميع المحاولات المتبقية $n-k$ فشلاً. تذكر أن $q = 1-p$.
اضرب جميع العوامل الثلاثة. $P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k}$. النتيجة هي احتمال يقع بين 0 و 1.
حول إلى نسبة مئوية (اختياري). اضرب الاحتمال في 100 لتعبر عنه كنسبة مئوية، على سبيل المثال $0.31146 \times 100 = 31.15\%$.

فحص عملي: لـ $n=5,\,k=3,\,p=0.5$: $\binom{5}{3}=10$، $0.5^{3}=0.125$، $0.5^{2}=0.25$، لذا $P = 10 \times 0.125 \times 0.25 = $ 0.3125 (31.25%).

اعلان

المصطلحات الأساسية والمتغيرات

الرمز	الاسم	المعنى
$n$	عدد المحاولات	إجمالي عدد التجارب المستقلة المحددة مسبقاً أو المحاولات.
$k$	عدد النجاحات	العدد الدقيق للنتائج الناجحة التي تريد حساب احتمالها؛ يجب أن يحقق $0 \le k \le n$.
$p$	احتمال النجاح	احتمال أن تكون أي محاولة واحدة ناجحة؛ $0 \le p \le 1$.
$q$	احتمال الفشل	احتمال الفشل في محاولة واحدة، $q = 1 - p$.
$\binom{n}{k}$	معامل ذي الحدين	عدد الطرق لاختيار $k$ نجاحات من $n$ محاولة، $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$؛ يُقرأ "n اختر k."

افتراضات ذي الحدين الأربعة

نموذج ذي الحدين صحيح فقط عندما تتحقق جميع الشروط الأربعة:

عدد ثابت من المحاولات. قيمة $n$ محددة مسبقاً ولا تتغير.
نتيجتان محتملتان فقط. كل محاولة تؤدي إلى واحدة فقط من نتيجتين، تُسمى عادة "نجاح" و"فشل."
احتمالية ثابتة. احتمال النجاح $p$ هو نفسه في كل محاولة.
محاولات مستقلة. نتيجة أي محاولة واحدة لا تؤثر على نتيجة أي محاولة أخرى.

عندما تتحقق هذه الشروط، يتبع عدد النجاحات $X$ توزيع ذي الحدين، مكتوب كـ $X \sim \text{توزيع ثنائي}(n, p)$.

الأسئلة الشائعة

هل أُدخِل $p$ ككسر عشري أم كنسبة مئوية؟ استخدم الكسر العشري: فاحتمال 25% يُدخَل على هيئة 0.25.

ماذا لو كانت $k$ أكبر من $n$؟ هذا أمر مستحيل — إذ لا يمكن أن يفوق عدد النجاحات عدد المحاولات — لذا يكون الاحتمال صفرًا.

كيف أجد $P(X \le k)$ أو $P(X \ge k)$؟ تعطي هذه الأداة احتمال قيمة محددة بالضبط. أمّا للاحتمالات التراكمية، فاجمع قيم $P(X=i)$ عبر مدى $i$ ذي الصلة.

أدخل الحساب

صيغة رياضية

نتائج