二項分布の確率とは？
二項分布の確率とは、毎回同じ成功確率pをもつ独立したn回の試行において、ちょうどk回成功する確率のことです。「成功・失敗（はい・いいえ）」の2通りしかない実験を、同じ条件で繰り返す場面ならどんなものにも当てはまります。たとえばコイン投げ、バスケットボールのフリースロー、製造ラインの不良品の発生、アンケートの回答などです。
この計算機の使い方
試行回数（n）、確率を知りたい成功回数（k）、そして1回あたりの成功確率（p）を0〜1の小数で入力してください。計算機は、ちょうどk回成功する確率 \(P(X=k)\) を正確な値で表示するとともに、その値をパーセント表示したもの、さらに計算に使う二項係数 \(C(n,k)\) も合わせて出力します。
公式の解説
公式 $$P(X=k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$ は3つの部分から成り立っています。\(C(n,k)\) は、n回の試行のうちk回が成功となる並び方が何通りあるかを数えたものです。\(p^{k}\) はそのk回が成功する確率、\((1-p)^{n-k}\) は残りのn−k回がすべて失敗する確率を表します。これらを掛け合わせることで、ちょうどその回数だけ成功する確率が求められます。
計算例
公平なコインを10回投げる場合（n=10、p=0.5）、ちょうど4回表が出る確率（k=4）はどれくらいでしょうか。\(C(10,4) = 210\) なので、$$P = 210 \times 0.5^{4} \times 0.5^{6} = 210 \times 0.5^{10} = 210 \div 1024 \approx 0.2051$$つまり約20.51%となります。
二項確率を手計算する方法
任意の有効な入力に対して \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}\) を評価するには、以下の手順に従ってください。
- \(k \le n\) であることを確認する。 成功回数 \(k\) は試行回数 \(n\) を超えることはできず、両方とも非負の整数でなければなりません。\(k > n\) の場合、確率は 0 です。また、\(0 \le p \le 1\) を確認してください。
- 二項係数 \(\binom{n}{k}\) を計算する。 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) を使用してください。これは \(n\) 回の試行の中に \(k\) 回の成功を配置する異なる方法の数を数えます。
- \(p\) を \(k\) 乗する。 \(p^{k}\) を計算してください。これは特定の \(k\) 回の成功が発生する確率です。
- \((1-p)\) を \(n-k\) 乗する。 \((1-p)^{n-k}\) を計算してください。これは残りの \(n-k\) 回の試行がすべて失敗である確率です。\(q = 1-p\) であることを思い出してください。
- 3つの因数をすべて乗算する。 \(P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k}\)。結果は 0 と 1 の間の確率です。
- パーセンテージに変換する（オプション）。 確率に 100 を乗じてパーセンテージで表現します。例えば \(0.31146 \times 100 = 31.15\%\)。
確認例： \(n=5,\,k=3,\,p=0.5\) の場合：\(\binom{5}{3}=10\)、\(0.5^{3}=0.125\)、\(0.5^{2}=0.25\) なので、\(P = 10 \times 0.125 \times 0.25 = \) 0.3125（31.25%）。
主要な用語と変数
| 記号 | 名称 | 意味 |
|---|---|---|
| \(n\) | 試行回数 | 固定された独立した実験または試行の総数。 |
| \(k\) | 成功回数 | 確率を求めたい成功した結果の正確な数。\(0 \le k \le n\) を満たす必要があります。 |
| \(p\) | 成功確率 | 任意の一回の試行が成功する確率。\(0 \le p \le 1\)。 |
| \(q\) | 失敗確率 | 一回の試行で失敗する確率。\(q = 1 - p\)。 |
| \(\binom{n}{k}\) | 二項係数 | \(n\) 回の試行から \(k\) 回の成功を選ぶ方法の数。\(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)。「n個からk個を選ぶ」と読みます。 |
4つの二項仮定
二項モデルは、4つの条件がすべて成立する場合にのみ有効です：
- 固定された試行回数。 \(n\) の値は事前に設定され、変わりません。
- 2つの可能な結果。 各試行は、通常は「成功」と「失敗」とラベル付けされた 2つの結果のちょうど 1つになります。
- 一定の確率。 成功確率 \(p\) はすべての試行で同じです。
- 独立した試行。 どの試行の結果も、他の試行の結果に影響しません。
これらが成立する場合、成功回数 \(X\) は二項分布に従い、\(X \sim \text{二項分布}(n, p)\) と書きます。
よくある質問
pは小数で入れるの？それともパーセント？ 小数で入力してください。25%の確率なら0.25と入れます。
kがnより大きいとどうなる？ 試行回数より多く成功することはあり得ないため、その場合の確率は0になります。
P(X ≤ k) や P(X ≥ k) はどう求める？ このツールは、ちょうど特定の値になる確率を計算します。累積確率を求めたい場合は、対象となる範囲のiについて \(P(X=i)\) を合計してください。
