Qu'est-ce que la probabilité binomiale ?
La probabilité binomiale indique la chance d'obtenir exactement k succès au cours d'un nombre fixé de n essais indépendants, chaque essai réussissant avec la même probabilité p. Elle s'applique à toute expérience de type « oui/non » répétée dans des conditions identiques : lancers de pièce, lancers francs au basket, pièces défectueuses sur une ligne de production ou réponses à un sondage.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre d'essais (n), le nombre de succès dont vous souhaitez connaître la probabilité (k), puis la probabilité de succès par essai (p) sous forme de nombre décimal compris entre 0 et 1. Le calculateur renvoie la probabilité exacte \(P(X=k)\), cette même valeur exprimée en pourcentage, ainsi que le coefficient binomial \(C(n,k)\) utilisé dans le calcul.
La formule expliquée
La formule $$P(X=k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$ comporte trois éléments. \(C(n,k)\) compte le nombre d'arrangements distincts possibles de k succès parmi n essais. Le terme \(p^{k}\) représente la probabilité que ces k succès se produisent, tandis que \((1-p)^{n-k}\) correspond à la probabilité que les n−k essais restants échouent tous. En les multipliant, on obtient la probabilité totale pour ce nombre exact de succès.
Exemple résolu
Lançons une pièce équilibrée 10 fois (n=10, p=0,5). Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 4 fois face (k=4) ? \(C(10,4) = 210\), donc $$P = 210 \times 0{,}5^{4} \times 0{,}5^{6} = 210 \times 0{,}5^{10} = 210 / 1024 \approx 0{,}2051$$ soit environ 20,51 %.
Comment calculer la probabilité binomiale à la main
Suivez ces étapes pour évaluer \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}\) pour tout paramètre d'entrée valide.
- Vérifier que \(k \le n\). Le nombre de succès \(k\) ne peut pas dépasser le nombre d'essais \(n\), et les deux doivent être des entiers non-négatifs. Si \(k > n\), la probabilité est 0. Confirmez aussi que \(0 \le p \le 1\).
- Calculer le coefficient binomial \(\binom{n}{k}\). Utilisez \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Cela dénombre le nombre de façons distinctes d'arranger \(k\) succès parmi \(n\) essais.
- Élever \(p\) à la puissance \(k\). Calculez \(p^{k}\), la probabilité que \(k\) succès spécifiques se produisent.
- Élever \((1-p)\) à la puissance \(n-k\). Calculez \((1-p)^{n-k}\), la probabilité que les \(n-k\) essais restants soient tous des échecs. Rappelez-vous que \(q = 1-p\).
- Multiplier les trois facteurs. \(P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k}\). Le résultat est une probabilité entre 0 et 1.
- Convertir en pourcentage (facultatif). Multipliez la probabilité par 100 pour l'exprimer en pourcentage, par exemple \(0.31146 \times 100 = 31.15\%\).
Vérification travaillée : pour \(n=5,\,k=3,\,p=0.5\) : \(\binom{5}{3}=10\), \(0.5^{3}=0.125\), \(0.5^{2}=0.25\), donc \(P = 10 \times 0.125 \times 0.25 = \) 0.3125 (31.25%).
Termes clés et variables
| Symbole | Nom | Signification |
|---|---|---|
| \(n\) | Nombre d'essais | Le nombre total fixe d'expériences ou de tentatives indépendantes. |
| \(k\) | Nombre de succès | Le décompte exact des résultats réussis dont vous voulez calculer la probabilité ; doit satisfaire \(0 \le k \le n\). |
| \(p\) | Probabilité de succès | La probabilité que tout essai unique soit un succès ; \(0 \le p \le 1\). |
| \(q\) | Probabilité d'échec | La probabilité d'un échec sur un essai unique, \(q = 1 - p\). |
| \(\binom{n}{k}\) | Coefficient binomial | Le nombre de façons de choisir \(k\) succès parmi \(n\) essais, \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) ; se lit « n parmi k ». |
Les quatre hypothèses binomiales
Le modèle binomial n'est valide que lorsque les quatre conditions sont remplies :
- Nombre fixe d'essais. La valeur de \(n\) est fixée à l'avance et ne change pas.
- Deux résultats possibles. Chaque essai donne exactement l'un des deux résultats, conventionnellement étiquetés « succès » et « échec ».
- Probabilité constante. La probabilité de succès \(p\) est la même à chaque essai.
- Essais indépendants. Le résultat d'un essai ne change pas le résultat d'un autre essai.
Quand celles-ci sont valides, le nombre de succès \(X\) suit une distribution binomiale, écrite \(X \sim \text{loi\ B}(n, p)\).
FAQ
Dois-je saisir p sous forme de décimal ou de pourcentage ? Utilisez un nombre décimal : une chance de 25 % se saisit sous la forme 0,25.
Que se passe-t-il si k est supérieur à n ? C'est impossible : on ne peut pas avoir plus de succès que d'essais, la probabilité est donc égale à 0.
Comment calculer P(X ≤ k) ou P(X ≥ k) ? Cet outil donne la probabilité d'une valeur exacte. Pour des probabilités cumulées, additionnez les \(P(X=i)\) sur l'ensemble des valeurs de i concernées.
