Qu'est-ce que le nombre de diagonales d'un polygone ?
Une diagonale est un segment de droite qui relie deux sommets non consécutifs d'un polygone. Les côtés, eux, relient des sommets voisins : ils ne comptent donc pas comme des diagonales. Ce calculateur vous indique précisément combien de diagonales possède un polygone, à partir de son seul nombre de côtés (\(n\)).
Comment utiliser le calculateur
Indiquez le nombre de côtés de votre polygone : par exemple 3 pour un triangle, 4 pour un quadrilatère, 5 pour un pentagone, et ainsi de suite. Le calculateur affiche aussitôt le nombre total de diagonales. Le nombre de côtés doit être au minimum de 3, car il est impossible de former un polygone fermé avec moins de trois côtés.
La formule expliquée
Le nombre de diagonales est donné par la formule $$D = \frac{n(n - 3)}{2}$$ Chacun des \(n\) sommets peut être relié à \(n - 3\) autres sommets par une diagonale (on exclut le sommet lui-même et ses deux voisins). Cela donne \(n(n - 3)\) liaisons, mais chaque diagonale est comptée deux fois — une fois à partir de chacune de ses extrémités — d'où la division par 2.
Exemple concret
Prenons un hexagone, qui possède \(n = 6\) côtés. En appliquant la formule : $$D = \frac{6 \times (6 - 3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ Un hexagone compte donc 9 diagonales. Pour un pentagone (\(n = 5\)) : \(D = \frac{5 \times 2}{2} = 5\) diagonales.
Questions fréquentes
Combien de diagonales possède un triangle ? Aucune. Avec \(n = 3\), on obtient \(D = \frac{3 \times 0}{2} = 0\), car chaque paire de sommets est déjà reliée par un côté.
Le polygone doit-il être régulier ? Non. La formule ne dépend que du nombre de côtés : elle fonctionne donc pour tout polygone simple (non croisé), qu'il soit régulier ou irrégulier.
Combien de diagonales possède un carré ? Un carré (\(n = 4\)) possède \(D = \frac{4 \times 1}{2} = 2\) diagonales.
