Qu'est-ce qu'un nombre tétraédrique ?
Un nombre tétraédrique correspond au nombre total de billes (sphères) identiques empilées en une pyramide triangulaire régulière — un tétraèdre — comptant \(n\) couches. La couche supérieure ne contient qu'une seule bille, et chaque couche inférieure forme un agencement triangulaire de plus en plus grand. Le n-ième nombre tétraédrique, noté \(T_n\), n'est rien d'autre que la somme cumulée des billes réparties sur les \(n\) couches. Il s'agit de mathématiques pures, valables à l'identique partout dans le monde.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez le nombre de couches empilées \(n\) (un entier supérieur ou égal à 0) et le calculateur vous donne trois résultats : le nombre tétraédrique \(T_n\) (total de billes), la hauteur physique de l'empilement \(h_n\) exprimée en diamètres de bille, ainsi que le nombre de billes dans la couche de base. Saisissez \(n = 0\) pour un empilement vide (0 bille, hauteur nulle).
La formule expliquée
Chaque couche \(k\) est elle-même un triangle contenant le k-ième nombre triangulaire de billes, \(P_k = \dfrac{k(k+1)}{2}\) — les couches contiennent donc 1, 3, 6, 10… billes en partant du sommet. En additionnant les \(n\) premiers nombres triangulaires, on obtient la forme close $$T_n = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}.$$
Pour la hauteur, des sphères de diamètre \(d\) empilées de façon compacte ont leurs centres de couche séparés verticalement de \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} \approx 0{,}8165\) diamètre. En ajoutant le demi-rayon en haut et en bas, on obtient la hauteur physique totale $$h_n = d\left((n-1)\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}} + 1\right).$$ Pour une seule bille (\(n = 1\)), cette formule renvoie bien un diamètre.
Exemple détaillé (n = 4)
Les quatre couches contiennent respectivement 1, 3, 6 et 10 billes, soit \(T_n = 1 + 3 + 6 + 10 = 20\). La forme close le confirme : $$\dfrac{4\cdot 5\cdot 6}{6} = 20 \text{ billes}.$$ La hauteur vaut $$h_n = (4-1)\cdot 0{,}8165 + 1 = 2{,}4495 + 1 = 3{,}4495 \text{ diamètres de bille}.$$
FAQ
Combien de billes contient la couche du bas ? La couche de base contient le n-ième nombre triangulaire, \(P_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\) billes.
Et si je veux une longueur réelle ? La hauteur est exprimée en diamètres. Multipliez \(h_n\) par le diamètre réel \(d\) de vos billes (en cm, mm, etc.) pour obtenir une longueur physique.
Pourquoi la hauteur fait-elle intervenir \(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\) ? Dans un empilement compact, chaque bille du dessus se loge dans le creux formé par trois billes inférieures ; cette géométrie fixe le pas vertical entre centres à \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \approx 0{,}8165\) diamètre.
