¿Qué es un número tetraédrico?
Un número tetraédrico es la cantidad total de bolas (esferas) idénticas cuando se apilan formando una pirámide triangular regular —un tetraedro— con n capas. La capa superior contiene una sola bola y cada capa inferior es una disposición triangular cada vez más grande. El n-ésimo número tetraédrico, que escribimos como \(T_n\), es sencillamente la suma acumulada de bolas en todas las n capas. Se trata de matemáticas puras, así que el resultado es idéntico en cualquier parte del mundo.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número de capas apiladas n (un entero igual o mayor que 0) y la calculadora te devuelve tres datos: el número tetraédrico \(T_n\) (total de bolas), la altura física de la pila \(h_n\) expresada en diámetros de bola y la cantidad de bolas que hay en la capa base. Usa n = 0 para una pila vacía (0 bolas y 0 de altura).
La fórmula explicada
Cada capa k es a su vez un triángulo que contiene el k-ésimo número triangular de bolas, \(P_k = \dfrac{k(k+1)}{2}\), de modo que las capas tienen 1, 3, 6, 10, ... bolas de arriba abajo. Al sumar los primeros n números triangulares se obtiene la fórmula cerrada $$T_n = \dfrac{\text{n}\left(\text{n}+1\right)\left(\text{n}+2\right)}{6}$$
En cuanto a la altura, las esferas en empaquetamiento compacto de diámetro d tienen sus centros separados verticalmente por \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} \approx 0{,}8165\) diámetros. Sumando el medio radio de arriba y de abajo se obtiene la altura física total $$h_n = d\left(\left(\text{n}-1\right)\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}} + 1\right)$$ Para una sola bola (n = 1) el resultado es correctamente un diámetro.
Ejemplo resuelto (n = 4)
Las cuatro capas contienen 1, 3, 6 y 10 bolas, así que \(T_n = 1 + 3 + 6 + 10 = 20\). La fórmula cerrada lo confirma: $$\dfrac{4\cdot 5\cdot 6}{6} = 20 \text{ bolas}$$ La altura es $$h_n = \left(4-1\right)\cdot 0{,}8165 + 1 = 2{,}4495 + 1 = 3{,}4495 \text{ diámetros de bola}$$
Preguntas frecuentes
¿Cuántas bolas hay en la capa inferior? La capa base contiene el n-ésimo número triangular, \(P_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\) bolas.
¿Y si quiero una longitud real? La altura se expresa en diámetros. Multiplica \(h_n\) por el diámetro real de tus bolas d (en cm, mm, etc.) para obtener una longitud física.
¿Por qué la altura usa sqrt(2/3)? En el empaquetamiento compacto, cada bola superior encaja en el hueco que forman tres bolas inferiores; esa geometría fija el paso vertical de centro a centro en \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \approx 0{,}8165\) de un diámetro.
