टेट्राहेड्रल संख्या कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

जमाई गई परतों की संख्या n (परतें)

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (2)

1. Base Layer Balls (Triangular Number)

   

   Number of balls in the bottom triangular layer

2. Stack Height (in ball diameters)

   

   Height of the stack measured in ball diameters; spacing factor s = sqrt(2/3)

परिणाम

टेट्राहेड्रल संख्या Tn (ढेर में कुल गेंदें)

20

balls in 4 layers

ढेर की ऊँचाई hn	3.4495 ball diameters
केंद्र-से-केंद्र दूरी	2.4495 ball diameters
आधार परत की गिनती (त्रिकोणीय संख्या Pn)	10 balls

टेट्राहेड्रल संख्या क्या है?

टेट्राहेड्रल संख्या उन एक जैसी गेंदों (गोलों) की कुल गिनती है, जब उन्हें n परतों वाले एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड — यानी टेट्राहेड्रॉन — के रूप में जमाया जाता है। सबसे ऊपरी परत में सिर्फ़ एक गेंद होती है, और उसके नीचे की हर परत एक बड़ी त्रिकोणीय व्यवस्था बनाती है। n-वीं टेट्राहेड्रल संख्या, जिसे \(T_n\) लिखते हैं, बस सभी n परतों की गेंदों का कुल जोड़ है। यह शुद्ध गणित है और हर जगह एक समान लागू होती है।

A tetrahedral number counts the balls stacked in a triangular pyramid.

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

जमाई गई परतों की संख्या n दर्ज करें (0 या उससे बड़ा कोई पूर्णांक) और कैलकुलेटर आपको तीन चीज़ें बताता है: टेट्राहेड्रल संख्या \(T_n\) (कुल गेंदें), ढेर की भौतिक ऊँचाई \(h_n\) जो गेंद के व्यास में दी जाती है, और सबसे नीचे की परत में मौजूद गेंदों की संख्या। खाली ढेर के लिए \(n = 0\) रखें (0 गेंदें, 0 ऊँचाई)।

सूत्र की व्याख्या

हर परत k अपने आप में एक त्रिकोण होती है जिसमें k-वीं त्रिकोणीय संख्या जितनी गेंदें होती हैं, \(P_k = \dfrac{k(k+1)}{2}\) — यानी ऊपर से नीचे की ओर परतों में 1, 3, 6, 10, ... गेंदें होती हैं। पहली n त्रिकोणीय संख्याओं को जोड़ने पर बंद रूप मिलता है $$T_n = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}.$$

ऊँचाई के लिए, व्यास \(d\) वाले सघन रूप से जमे गोलों की परतों के केंद्र लंबवत दिशा में \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} \approx 0.8165\) व्यास की दूरी पर होते हैं। ऊपर और नीचे आधी त्रिज्या जोड़ने पर पूरी भौतिक ऊँचाई मिलती है $$h_n = d\left((n-1)\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}} + 1\right).$$ एक अकेली गेंद (\(n = 1\)) के लिए यह सही रूप से एक व्यास लौटाता है।

विज्ञापन

Each layer is a triangular number; their sum gives the tetrahedral number.

हल किया गया उदाहरण (n = 4)

चारों परतों में 1, 3, 6 और 10 गेंदें होती हैं, इसलिए \(T_n = 1 + 3 + 6 + 10 = 20\)। बंद रूप इसकी पुष्टि करता है: $$\dfrac{4\cdot 5\cdot 6}{6} = 20 \text{ गेंदें}.$$ ऊँचाई है $$h_n = (4-1)\cdot 0.8165 + 1 = 2.4495 + 1 = 3.4495 \text{ गेंद व्यास}.$$

विज्ञापन

For n = 4 the layers 1 + 3 + 6 + 10 total 20 balls.

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

सबसे नीचे की परत में कितनी गेंदें होती हैं? आधार परत में n-वीं त्रिकोणीय संख्या जितनी गेंदें होती हैं, \(P_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\)।

अगर मुझे वास्तविक लंबाई चाहिए तो? ऊँचाई व्यास में दी जाती है। वास्तविक लंबाई पाने के लिए \(h_n\) को अपनी असली गेंद के व्यास \(d\) (सेमी, मिमी आदि में) से गुणा करें।

ऊँचाई में \(\sqrt{2/3}\) क्यों आता है? सघन व्यवस्था में हर ऊपरी गेंद नीचे की तीन गेंदों से बने गड्ढे में बैठ जाती है; यही ज्यामिति लंबवत केंद्र-से-केंद्र कदम को व्यास के \(\sqrt{2/3} = \sqrt{6}/3 \approx 0.8165\) पर तय करती है।