Số tứ diện là gì?
Số tứ diện là tổng số viên bi (hình cầu) giống hệt nhau khi chúng được xếp thành một hình chóp tam giác đều — gọi là tứ diện — với n lớp. Lớp trên cùng chỉ có một viên bi, và mỗi lớp bên dưới là một mảng tam giác lớn dần. Số tứ diện thứ n, ký hiệu \(T_n\), đơn giản là tổng dồn số bi của tất cả n lớp. Đây là toán học thuần túy và đúng như nhau ở mọi nơi.
Cách dùng công cụ này
Nhập số lớp xếp chồng n (số nguyên từ 0 trở lên), công cụ sẽ trả về ba thông tin: số tứ diện \(T_n\) (tổng số bi), chiều cao thực tế của chồng bi \(h_n\) tính theo đơn vị đường kính bi, và số bi ở lớp đáy. Dùng n = 0 cho chồng rỗng (0 bi, chiều cao bằng 0).
Giải thích công thức
Mỗi lớp k bản thân nó là một tam giác chứa số bi bằng số tam giác thứ k, \(P_k = \dfrac{k(k+1)}{2}\) — vì vậy các lớp tính từ trên xuống lần lượt có 1, 3, 6, 10, ... viên bi. Cộng n số tam giác đầu tiên cho ra công thức rút gọn $$T_n = \dfrac{\text{n}\left(\text{n}+1\right)\left(\text{n}+2\right)}{6}$$
Về chiều cao, các quả cầu xếp khít nhau với đường kính d có tâm các lớp cách nhau theo phương thẳng đứng một khoảng \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} \approx 0{,}8165\) lần đường kính. Cộng thêm nửa bán kính ở trên cùng và dưới cùng, ta được chiều cao thực tế $$h_n = d\left(\left(\text{n}-1\right)\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}} + 1\right)$$ Với một viên bi đơn lẻ (n = 1), kết quả đúng bằng một đường kính.
Ví dụ cụ thể (n = 4)
Bốn lớp lần lượt chứa 1, 3, 6 và 10 viên bi, nên \(T_n = 1 + 3 + 6 + 10 = 20\). Công thức rút gọn xác nhận điều này: $$\dfrac{4\cdot5\cdot6}{6} = 20 \text{ viên bi}$$ Chiều cao là $$h_n = \left(4-1\right)\cdot0{,}8165 + 1 = 2{,}4495 + 1 = 3{,}4495 \text{ lần đường kính bi}$$
Câu hỏi thường gặp
Lớp đáy có bao nhiêu viên bi? Lớp đáy chứa số tam giác thứ n, tức \(P_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\) viên bi.
Nếu tôi muốn biết chiều dài thực tế thì sao? Chiều cao được tính theo đơn vị đường kính. Hãy nhân \(h_n\) với đường kính thực tế d của viên bi (đơn vị cm, mm, v.v.) để có chiều dài vật lý.
Vì sao chiều cao dùng \(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\)? Khi xếp khít, mỗi viên bi phía trên lọt vào chỗ lõm tạo bởi ba viên bi phía dưới; hình học này quy định bước dịch chuyển tâm-đến-tâm theo phương đứng bằng \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \approx 0{,}8165\) lần đường kính.
