사면체수란?
사면체수란 똑같은 크기의 공(구)을 정삼각뿔, 즉 사면체 모양으로 n개 층까지 쌓았을 때 들어가는 공의 총 개수를 말합니다. 맨 위층에는 공 1개가 놓이고, 그 아래로 내려갈수록 더 큰 삼각형 모양으로 공이 배열됩니다. \(n\)번째 사면체수(\(T_n\)으로 표기)는 결국 n개 층에 들어간 공을 모두 합한 누적 개수입니다. 이는 순수 수학 개념이므로 어느 나라에서나 똑같이 적용됩니다.
계산기 사용법
쌓을 층수 \(n\)(0 이상의 정수)을 입력하면 계산기가 세 가지 값을 알려줍니다. 사면체수 \(T_n\)(총 공 개수), 공 지름 단위로 표시한 실제 쌓은 높이 \(h_n\), 그리고 맨 아래층에 들어간 공의 개수입니다. 빈 더미를 나타내려면 \(n = 0\)을 입력하세요(공 0개, 높이 0).
공식 풀이
k번째 층은 그 자체가 하나의 삼각형으로, k번째 삼각수만큼의 공을 담습니다. 즉 $$P_k = \dfrac{k(k+1)}{2}$$ 이며, 위에서부터 1, 3, 6, 10, … 개씩 늘어납니다. 처음 n개의 삼각수를 모두 더하면 다음과 같은 닫힌 공식이 나옵니다: $$T_n = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}.$$
높이의 경우, 지름이 d인 공을 가장 촘촘하게(최밀충전) 쌓으면 각 층 중심 사이의 수직 간격이 \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} \approx 0.8165\) 지름이 됩니다. 여기에 맨 위와 맨 아래의 반지름 절반씩을 더하면 전체 실제 높이는 $$h_n = d\left((n-1)\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}} + 1\right)$$이 됩니다. 공이 하나뿐일 때(\(n = 1\))는 정확히 지름 1개 길이가 나옵니다.
계산 예시 (n = 4)
네 개의 층에는 각각 1, 3, 6, 10개의 공이 들어가므로 $$T_n = 1 + 3 + 6 + 10 = 20$$개입니다. 닫힌 공식으로 확인해도 \(\dfrac{4\cdot 5\cdot 6}{6} = 20\)개로 일치합니다. 높이는 $$h_n = (4-1)\cdot 0.8165 + 1 = 2.4495 + 1 = 3.4495$$ 공 지름입니다.
자주 묻는 질문
맨 아래층에는 공이 몇 개 들어가나요? 맨 아래층에는 n번째 삼각수, 즉 \(P_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\) 개의 공이 들어갑니다.
실제 길이로 알고 싶다면? 높이는 지름 단위로 표시됩니다. \(h_n\)에 실제 공 지름 d(cm, mm 등)를 곱하면 실제 길이를 구할 수 있습니다.
왜 높이 계산에 sqrt(2/3)를 쓰나요? 최밀충전에서는 위쪽 공이 아래쪽 공 세 개가 만드는 오목한 자리에 쏙 들어갑니다. 바로 이 기하 구조 때문에 중심에서 중심까지의 수직 간격이 지름의 \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.8165\) 배가 됩니다.
