조립제법이란?
조립제법(組立除法)은 다항식 P(x)를 (x − r) 꼴의 일차식으로 나눌 때 사용하는 빠른 계산법입니다. 복잡한 다항식 나눗셈을 일일이 풀어 쓰는 대신, 계수만으로 계산하여 차수가 하나 낮은 몫 다항식과 하나의 나머지를 얻습니다. 나머지정리에 따르면 이 나머지는 P(r)과 같으므로, 같은 과정으로 x = r에서의 함숫값도 구할 수 있습니다.
계산기 사용법
다항식의 계수를 최고차항부터 상수항까지 차례대로 입력하고, 쉼표나 공백으로 구분하세요. 빠진 차수가 있으면 반드시 0을 넣어야 합니다(예: \(x^3 - 2\) 는 1, 0, 0, -2 로 입력). 그다음 나누는 식 \((x - r)\)의 근 \(r\)을 입력합니다. \((x + 3)\)으로 나눈다면 \(r = -3\) 을 사용하세요. 계산기가 몫 다항식과 나머지를 보여 줍니다.
공식 설명
계수를 \(a_0, a_1, \dots, a_n\) 순서로 나열합니다. 먼저 \(a_0\)를 그대로 내려 \(b_0\)로 둡니다. 이후 각 항은 점화식 \(b_i = a_i + r \cdot b_{i-1}\) 로 계산합니다.
$$\begin{gathered} b_0 = a_0, \qquad b_i = a_i + \text{r}\cdot b_{i-1} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a_i &= \text{Coefficients}\ \text{(highest degree first)} \\ Q(x) &= b_0 x^{n-1} + b_1 x^{n-2} + \dots + b_{n-2} \\ R &= b_{n-1}\ \text{(remainder)} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$\(b_0\)부터 \(b_{n-1}\)까지가 몫의 계수이고, 마지막 값 \(b_n\)이 나머지 \(R\)입니다. 식으로 나타내면 $$P(x) = (x - r)\cdot Q(x) + R$$ 입니다.
풀이 예제
\(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) 을 \((x - 1)\)로 나눠 봅시다. 계수는 \(1, -6, 11, -6\) 이고 \(r = 1\) 입니다. 먼저 1을 내립니다. 다음으로 $$-6 + 1\cdot 1 = -5,$$ 이어서 $$11 + 1\cdot(-5) = 6,$$ 마지막으로 $$-6 + 1\cdot 6 = 0$$ 입니다. 따라서 몫은 \(x^2 - 5x + 6\), 나머지는 0이며, 이는 \((x - 1)\)이 인수임을 확인해 줍니다.
자주 묻는 질문
\((x + a)\)로도 나눌 수 있나요? 네. \((x - (-a))\) 로 바꿔 생각하고 \(r = -a\) 를 입력하면 됩니다.
나머지가 0이면 무슨 뜻인가요? \((x - r)\)이 P(x)를 정확히 나눈다는 뜻이며, 곧 \(r\)이 그 다항식의 근이라는 의미입니다.
빠진 항에 왜 0을 꼭 넣어야 하나요? 조립제법은 자릿수(위치)에 따른 계수를 기준으로 계산하므로, 차수를 건너뛰면 전체가 한 칸씩 밀려 잘못된 결과가 나옵니다.
