Что такое синтетическое деление?
Синтетическое деление — это быстрый способ разделить многочлен P(x) на линейный множитель вида (x − r). Вместо громоздкого деления столбиком вы работаете только с числовыми коэффициентами и получаете многочлен-частное на одну степень ниже плюс единственный остаток. В русской математической традиции этот приём часто связывают со схемой Горнера. По теореме Безу остаток равен P(r), поэтому та же процедура одновременно вычисляет значение многочлена в точке x = r.
Как пользоваться калькулятором
Введите коэффициенты многочлена по убыванию степеней — от старшей до свободного члена, разделяя их запятыми или пробелами. Не забудьте поставить нули для пропущенных степеней (например, \(x^3 - 2\) записывается как 1, 0, 0, -2). Затем укажите корень \(r\) делителя \((x - r)\). Если вы делите на \((x + 3)\), введите \(r = -3\). Калькулятор выдаст многочлен-частное и остаток.
Разбор формулы
Выпишите коэффициенты \(a_0, a_1, \dots, a_n\). Снесите \(a_0\) вниз как \(b_0\). Каждый следующий член вычисляется по рекуррентной формуле \(b_i = a_i + r \cdot b_{i-1}\). Значения от \(b_0\) до \(b_{n-1}\) — это коэффициенты частного, а последнее значение \(b_n\) — остаток \(R\). В символьном виде:
$$P(x) = (x - r) \cdot Q(x) + R$$В развёрнутом виде:
$$\begin{gathered} b_0 = a_0, \qquad b_i = a_i + \text{r}\cdot b_{i-1} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a_i &= \text{Coefficients}\ \text{(highest degree first)} \\ Q(x) &= b_0 x^{n-1} + b_1 x^{n-2} + \dots + b_{n-2} \\ R &= b_{n-1}\ \text{(remainder)} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Пример с решением
Разделим \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) на \((x - 1)\): коэффициенты равны \(1, -6, 11, -6\), а \(r = 1\). Сносим вниз 1. Далее:
$$-6 + 1 \cdot 1 = -5$$Затем
$$11 + 1 \cdot (-5) = 6$$И наконец
$$-6 + 1 \cdot 6 = 0$$Получаем частное \(x^2 - 5x + 6\) с остатком 0 — это подтверждает, что \((x - 1)\) является множителем исходного многочлена.
Частые вопросы
Можно ли делить на \((x + a)\)? Да — перепишите выражение как \((x - (-a))\) и введите \(r = -a\).
Что означает нулевой остаток? Это значит, что \((x - r)\) делит \(P(x)\) без остатка, то есть \(r\) является корнем многочлена.
Зачем указывать нули для пропущенных степеней? Синтетическое деление опирается на позиционное расположение коэффициентов; пропуск степени сдвинет все значения и приведёт к неверному результату.
