ما هي القسمة التركيبية؟
القسمة التركيبية طريقة مختصرة وسريعة لقسمة كثير الحدود \(P(x)\) على عامل خطي بالصيغة \((x - r)\). فبدلًا من إجراء القسمة المطوّلة كاملةً، تكتفي بالتعامل مع المعاملات العددية وحدها، فتحصل على كثير حدود خارج القسمة بدرجة أقل بمقدار واحد، إضافةً إلى باقٍ مفرد. ووفقًا لنظرية الباقي، فإن هذا الباقي يساوي \(P(r)\)، وبذلك تُستخدم الطريقة نفسها أيضًا لإيجاد قيمة كثير الحدود عند \(x = r\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل معاملات كثير الحدود مرتبةً من أعلى درجة وصولًا إلى الحد الثابت، مفصولةً بفواصل أو مسافات. واحرص على إدراج الأصفار لأي قوى مفقودة (فمثلًا، \(x^3 - 2\) تُكتب 1, 0, 0, -2). ثم أدخل الجذر \(r\) للمقسوم عليه \((x - r)\). فإذا كنت تقسم على \((x + 3)\)، استخدم \(r = -3\). تعرض لك الحاسبة كثير حدود خارج القسمة مع الباقي.
شرح القانون
اكتب المعاملات \(a_0, a_1, \dots, a_n\). أنزِل \(a_0\) ليصبح \(b_0\). ثم يُحسب كل حدّ تالٍ وفق العلاقة التكرارية \(b_i = a_i + r\cdot b_{i-1}\). وتمثّل القيم من \(b_0\) حتى \(b_{n-1}\) معاملات خارج القسمة، أما القيمة الأخيرة \(b_n\) فهي الباقي \(R\). ويمكن التعبير عن ذلك رمزيًا بالصيغة: $$P(x) = (x - r)\cdot Q(x) + R$$
مثال محلول
لنقسم \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) على \((x - 1)\)، فتكون المعاملات هي \(1, -6, 11, -6\) ويكون \(r = 1\). أنزِل العدد \(1\). ثم: \(-6 + 1\cdot 1 = -5\). وبعدها \(11 + 1\cdot(-5) = 6\). ثم \(-6 + 1\cdot 6 = 0\). إذن خارج القسمة هو \(x^2 - 5x + 6\) والباقي يساوي \(0\)، وهو ما يؤكد أن \((x - 1)\) عامل من عوامل كثير الحدود.
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني القسمة على \((x + a)\)؟ نعم — أعد كتابتها بالصيغة \((x - (-a))\) وأدخل \(r = -a\).
ماذا يعني أن يكون الباقي صفرًا؟ يعني أن \((x - r)\) يقسم \(P(x)\) قسمةً تامة، وبالتالي فإن \(r\) جذر من جذور كثير الحدود.
لماذا يجب إدراج الأصفار للحدود المفقودة؟ لأن القسمة التركيبية تعتمد على ترتيب المعاملات حسب مواضعها؛ وإهمال أي قوة يُزيح بقية الأعداد ويؤدي إلى نتائج خاطئة.
