ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تتولى هذه الأداة حساب الجزء الشعاعي من دالة الموجة الكَمّية لذرة شبيهة بالهيدروجين (إلكترون وحيد مرتبط بنواة شحنتها Z، مثل ذرة الهيدروجين H أو أيون الهيليوم ⁺He). وهي تُرجع دالة الموجة الشعاعية \(R_{n\ell}(r)\) وكثافة الاحتمال الشعاعية \(D(r) = r^{2}\,|R_{n\ell}(r)|^{2}\)، مع أخذ عينات على مدى من أنصاف الأقطار ورسمها على هيئة مخطط أعمدة بسيط. وهي أداة فيزيائية عامة لا تخضع لأي افتراضات خاصة ببلدٍ معيّن؛ إذ يُعبَّر عن جميع المسافات بوحدات نصف قطر بور (a = 1).
كيفية الاستخدام
اختر النواة (H للقيمة Z = 1 أو ⁺He للقيمة Z = 2)، ثم أدخل عدد الكم الرئيسي \(n\) (1، 2، 3، ...) وعدد الكم السمتي \(\ell\) (من 0 إلى n-1). حدِّد نصف القطر الابتدائي ومقدار الخطوة وعدد النقاط المطلوب أخذ عينات منها. تبني الحاسبة جدولًا يضم \(r\) و\(R_{n\ell}(r)\) و\(D(r)\)، وتُبرز نصف القطر الذي تبلغ عنده \(D(r)\) ذروتها، كما تعرض قيمة تقريبية لتكامل التطبيع للتحقق من سلامة الحساب.
شرح المعادلة
بإجراء التعويض \(x = 2Zr/n\)، تكون الدالة الشعاعية $$R_{n\ell}(r) = -P\, e^{-Zr/n}\,x^{\ell}\,L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(x)$$ حيث المعامل الأمامي \(P = \sqrt{\left(\tfrac{2Z}{n}\right)^{3}\dfrac{(n-\ell-1)!}{2n\,(n+\ell)!}}\)، وL هو كثير حدود لاغير المرافق. أما إشارة السالب المتصدّرة فهي مجرد اصطلاح للطور ولا تؤثّر في \(|R_{n\ell}|^{2}\). وعند الضرب في \(r^{2}\) نحصل على \(D(r)\)، أي احتمال إيجاد الإلكترون في قشرة رقيقة محصورة بين \(r\) و\(r+dr\).
مثال محلول
بالنسبة للهيدروجين في المدار 1s (Z = 1، n = 1، l = 0) عند r = 1 نصف قطر بور: نحصل على \(x = 2\)، و\(P = \sqrt{8 \times 0.5} = 2\)، و\(L_{0}^{1}(2) = 1\)، ومن ثَمّ $$R = -2e^{-1} = -0.73576$$ $$D = 1^{2} \times 0.73576^{2} = 0.54134$$ وهذه هي في الواقع القيمة العظمى لـ \(D(r)\) في المدار 1s، ما يؤكّد أن نصف القطر الأكثر احتمالًا لوجود الإلكترون يساوي نصف قطر بور واحدًا.
الأسئلة الشائعة
لماذا لا تقع ذروة D(r) عند r = 0؟ رغم أن \(|R_{n\ell}|^{2}\) تبلغ أكبر قيمها قرب النواة في المدار 1s، فإن عامل حجم القشرة \(r^{2}\) ينعدم عند نقطة الأصل، لذا تكون \(D(0) = 0\) ويبلغ الاحتمال ذروته عند نصف قطر منتهٍ.
ما الوحدات المستخدمة؟ كل شيء يُقاس بوحدات نصف قطر بور (a = 1)، فقيم \(r\) والخطوة ونصف قطر الذروة جميعها مضاعفات لا بُعدية لنصف قطر بور (نحو 0.529 أنغستروم).
لماذا لا يساوي اختبار التطبيع 1 بالضبط؟ يُقدَّر التكامل عبر جمع مستطيلات بسيط على النقاط التي اخترتها؛ وسِّع المدى واستخدم خطوة صغيرة كي تقترب القيمة أكثر من 1.
