Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa la parte radial de la función de onda cuántica de un átomo hidrogenoide (un único electrón ligado a un núcleo de carga Z, como el hidrógeno H o el ion helio He+). Devuelve la función de onda radial \(R_{n\ell}(r)\) y la densidad de probabilidad radial \(D(r) = r^{2}|R_{n\ell}(r)|^{2}\), muestreadas en un intervalo de radios y representadas en un sencillo gráfico de barras. Es una herramienta universal de física, sin supuestos ligados a ningún país; todas las distancias se expresan en radios de Bohr (\(a = 1\)).
Cómo usarla
Elige el núcleo (H para \(Z = 1\) o He+ para \(Z = 2\)) e introduce el número cuántico principal \(n\) (1, 2, 3, ...) y el número cuántico azimutal \(\ell\) (de 0 a \(n-1\)). Define el radio inicial, el tamaño del paso y cuántos puntos quieres muestrear. La calculadora genera una tabla con \(r\), \(R_{n\ell}(r)\) y \(D(r)\), señala el radio donde \(D(r)\) alcanza su máximo y muestra un valor aproximado de la integral de normalización como comprobación.
La fórmula explicada
Con el cambio de variable \(x = 2Zr/n\), la función radial es $$R_{n\ell}(r) = -P\, e^{-Zr/n}\, x^{\ell}\, L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(x),$$ donde el prefactor vale $$P = \sqrt{\left(\tfrac{2Z}{n}\right)^{3}\dfrac{(n-\ell-1)!}{2n\,(n+\ell)!}}$$ y \(L\) es el polinomio asociado de Laguerre. El signo menos inicial es solo una convención de fase y no afecta a \(|R_{n\ell}|^{2}\). Al multiplicar por \(r^{2}\) se obtiene \(D(r)\), la probabilidad de hallar el electrón en una fina capa esférica comprendida entre \(r\) y \(r+dr\).
Ejemplo resuelto
Para el orbital 1s del hidrógeno (\(Z = 1\), \(n = 1\), \(\ell = 0\)) en \(r = 1\) radio de Bohr: \(x = 2\), \(P = \sqrt{8 \times 0{,}5} = 2\), \(L_{0}^{1}(2) = 1\), de modo que $$R = -2e^{-1} = -0{,}73576$$ y $$D = 1^{2} \times 0{,}73576^{2} = 0{,}54134.$$ Este es precisamente el máximo de \(D(r)\) para el orbital 1s, lo que confirma que el radio más probable del electrón es un radio de Bohr.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el máximo de \(D(r)\) no está en \(r = 0\)? Aunque \(|R_{n\ell}|^{2}\) es máximo cerca del núcleo para el 1s, el factor de volumen de la capa \(r^{2}\) se anula en el origen, así que \(D(0) = 0\) y la probabilidad alcanza su máximo a un radio finito.
¿Qué unidades se utilizan? Todo está en radios de Bohr (\(a = 1\)), por lo que \(r\), el paso y el radio del máximo son múltiplos adimensionales del radio de Bohr (~0,529 angstroms).
¿Por qué la comprobación de la norma no da exactamente 1? La integral se aproxima mediante una simple suma de rectángulos sobre los puntos elegidos; amplía el intervalo y usa un paso pequeño para acercarte más a 1.
