¿Qué es la calculadora de la función de onda radial del hidrógeno?
Esta herramienta calcula la función de onda radial normalizada R(r) de un átomo hidrogenoide (de un solo electrón), es decir, la parte de la función de onda electrónica que depende únicamente de la distancia r al núcleo. También devuelve r·R(r), ya que la densidad de probabilidad radial es proporcional a (r·R(r))². Se trata de mecánica cuántica pura y es válida de forma universal. Las distancias se expresan en radios de Bohr (a = a₀ = 1).
Cómo usarla
Elige el número atómico Z (Hidrógeno Z=1 o el ion de Helio He+ Z=2), introduce el número cuántico principal n (1, 2, 3, ...) y el número cuántico azimutal l (de 0 a n−1). A continuación, define el radio inicial, el tamaño del paso y el número de puntos para generar una tabla que podrás representar gráficamente.
La fórmula
Con la variable adimensional \(\rho = 2Zr/(na)\) y \(a = 1\), la función de onda radial normalizada es
$$R_{n,l}(r) = N\,e^{-\rho/2}\,\rho^{\,l}\,L_{n-l-1}^{\,2l+1}(\rho)$$donde la constante de normalización es
$$N = \sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^{3}\frac{(n-l-1)!}{2n\,((n+l)!)}}$$El polinomio asociado de Laguerre se define como
$$L_p^q(x) = \sum (-1)^i \binom{p+q}{p-i}\frac{x^i}{i!}.$$
Ejemplo resuelto
Para Z=1, n=2, l=0 (el orbital 2s):
$$R_{2,0}(r) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2 - r)\,e^{-r/2}.$$En \(r=0\), \(R = \frac{1}{2.828427}\cdot 2 = 0.707107\). En \(r=2\) existe un nodo radial donde \(R=0\). Esto coincide con el resultado de la calculadora.
Preguntas frecuentes
¿Por qué aparece a veces un signo menos al principio? El signo global es una convención de fase sin significado físico; \((r\cdot R)^2\) es independiente del signo.
¿Por qué R(0)=0 cuando l≥1? Porque \(\rho^l = 0\) en \(r=0\) cuando \(l\ge 1\).
¿Qué unidades tiene R(r)? \(a_0^{-3/2}\), ya que la función de onda está normalizada en el espacio tridimensional medido en radios de Bohr.
