수소꼴 원자 동경 파동함수 계산기

계산 입력

원자 번호 Z Hydrogen H (Z=1) Helium ion He+ (Z=2)

주양자수 n

방위(궤도) 양자수 l

r의 초깃값 (보어 반지름)

r의 증가 간격 (스텝)

점의 개수 (반복 횟수)

결과

첫 r 값에서의 동경 파동함수 R(r)

2

units of a₀^−3/2 · n=1, l=0, Z=1

r · R(r) at first r value	0
점의 개수	101

r (a₀)	R(r)	r·R(r)
0	2	0
0.2	1.637462	0.327492
0.4	1.34064	0.536256
0.6	1.097623	0.658574
0.8	0.898658	0.718926
1	0.735759	0.735759
1.2	0.602388	0.722866
1.4	0.493194	0.690471
1.6	0.403793	0.646069
1.8	0.330598	0.595076
2	0.270671	0.541341
2.2	0.221606	0.487534
2.4	0.181436	0.435446
2.6	0.148547	0.386223
2.8	0.12162	0.340536
3	0.099574	0.298722
3.2	0.081524	0.260878
3.4	0.066747	0.226938
3.6	0.054647	0.196731
3.8	0.044742	0.170018
4	0.036631	0.146525
4.2	0.029991	0.125963
4.4	0.024555	0.108041
4.6	0.020104	0.092477
4.8	0.016459	0.079006
5	0.013476	0.067379
5.2	0.011033	0.057372
5.4	0.009033	0.048779
5.6	0.007396	0.041416
5.8	0.006055	0.03512
6	0.004958	0.029745
6.2	0.004059	0.025165
6.4	0.003323	0.021268
6.6	0.002721	0.017957
6.8	0.002228	0.015147
7	0.001824	0.012766
7.2	0.001493	0.010751
7.4	0.001223	0.009047
7.6	0.001001	0.007607
7.8	0.000819	0.006392
8	0.000671	0.005367
8.2	0.000549	0.004504
8.4	0.00045	0.003778
8.6	0.000368	0.003167
8.8	0.000301	0.002653
9	0.000247	0.002221
9.2	0.000202	0.001859
9.4	0.000165	0.001555
9.6	0.000135	0.0013
9.8	0.000111	0.001087
10	0.000091	0.000908
10.2	0.000074	0.000758
10.4	0.000061	0.000633
10.6	0.00005	0.000528
10.8	0.000041	0.000441
11	0.000033	0.000367
11.2	0.000027	0.000306
11.4	0.000022	0.000255
11.6	0.000018	0.000213
11.8	0.000015	0.000177
12	0.000012	0.000147
12.2	0.00001	0.000123
12.4	0.000008	0.000102
12.6	0.000007	0.000085
12.8	0.000006	0.000071
13	0.000005	0.000059
13.2	0.000004	0.000049
13.4	0.000003	0.000041
13.6	0.000002	0.000034
13.8	0.000002	0.000028
14	0.000002	0.000023
14.2	0.000001	0.000019
14.4	0.000001	0.000016
14.6	0.000001	0.000013
14.8	0.000001	0.000011
15	0.000001	0.000009
15.2	0.000001	0.000008
15.4	0	0.000006
15.6	0	0.000005
15.8	0	0.000004
16	0	0.000004
16.2	0	0.000003
16.4	0	0.000002
16.6	0	0.000002
16.8	0	0.000002
17	0	0.000001
17.2	0	0.000001
17.4	0	0.000001
17.6	0	0.000001
17.8	0	0.000001
18	0	0.000001
18.2	0	0
18.4	0	0
18.6	0	0
18.8	0	0
19	0	0
19.2	0	0
19.4	0	0
19.6	0	0
19.8	0	0
20	0	0

Distances in Bohr radii (a = a₀ = 1). The overall sign is a phase convention; (r·R)² is sign independent.

수소 동경 파동함수 계산기란?

이 도구는 수소꼴(전자 1개) 원자의 정규화된 동경 파동함수 R(r)을 계산합니다. R(r)은 전자 파동함수 중에서 핵으로부터의 거리 r에만 의존하는 부분입니다. 동경 확률밀도가 (r·R(r))²에 비례하기 때문에 r·R(r) 값도 함께 제공합니다. 이 계산은 순수한 양자역학에 기반하므로 특정 국가에 국한되지 않고 어디서나 동일하게 적용됩니다. 거리는 보어 반지름 단위(a = a₀ = 1)로 측정합니다.

여러 상태의 동경 파동함수 R(r). 양자수가 커질수록 마디 수가 늘어나는 모습을 보여준다.

사용 방법

먼저 원자 번호 Z를 선택하세요(수소 Z=1 또는 헬륨 이온 He+ Z=2). 그다음 주양자수 n(1, 2, 3, ...)과 방위 양자수 l(0부터 n−1까지)을 입력합니다. 마지막으로 시작 반지름, 증가 간격, 점의 개수를 지정하면 그래프로 그릴 수 있는 표가 만들어집니다.

공식

무차원 변수 \(\rho = 2Zr/(na)\)를 정의하고 \(a = 1\)로 두면, 정규화된 동경 파동함수는 다음과 같이 표현됩니다.

$$R_{n,l}(r) = N \cdot e^{-\rho/2} \cdot \rho^{l} \cdot L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$$

여기서 정규화 상수는 다음과 같습니다.

$$N = \sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^{3} \cdot \frac{(n-l-1)!}{2n \cdot (n+l)!}}$$

버금 라게르 다항식은 다음과 같이 주어집니다.

$$L_p^q(x) = \sum (-1)^i \binom{p+q}{p-i} \frac{x^i}{i!}$$

R(r)와 r·R(r) 비교: 후자는 원점에서 0이 되고 중간 반지름에서 최대가 된다.

계산 예시

Z=1, n=2, l=0인 경우(2s 오비탈):

$$R_{2,0}(r) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2 - r)\, e^{-r/2}$$

r=0일 때 \(R = \frac{1}{2.828427} \cdot 2 = 0.707107\) 입니다. r=2에서는 R=0이 되는 동경 마디(radial node)가 나타납니다. 이 결과는 계산기 출력과 정확히 일치합니다.

자주 묻는 질문

왜 앞에 마이너스 부호가 붙을 때가 있나요? 전체 부호는 위상(phase) 약속에 따른 것이며 물리적 의미는 없습니다. \((r \cdot R)^2\)은 부호와 무관하게 동일합니다.

l≥1일 때 R(0)=0인 이유는 무엇인가요? \(l \geq 1\)이면 r=0에서 \(\rho^l = 0\)이 되기 때문입니다.

R(r)의 단위는 무엇인가요? \(a_0^{-3/2}\) 입니다. 파동함수가 보어 반지름 단위로 측정한 3차원 공간에서 정규화되기 때문입니다.