수소 동경 파동함수 계산기란?
이 도구는 수소꼴(전자 1개) 원자의 정규화된 동경 파동함수 R(r)을 계산합니다. R(r)은 전자 파동함수 중에서 핵으로부터의 거리 r에만 의존하는 부분입니다. 동경 확률밀도가 (r·R(r))²에 비례하기 때문에 r·R(r) 값도 함께 제공합니다. 이 계산은 순수한 양자역학에 기반하므로 특정 국가에 국한되지 않고 어디서나 동일하게 적용됩니다. 거리는 보어 반지름 단위(a = a₀ = 1)로 측정합니다.
사용 방법
먼저 원자 번호 Z를 선택하세요(수소 Z=1 또는 헬륨 이온 He+ Z=2). 그다음 주양자수 n(1, 2, 3, ...)과 방위 양자수 l(0부터 n−1까지)을 입력합니다. 마지막으로 시작 반지름, 증가 간격, 점의 개수를 지정하면 그래프로 그릴 수 있는 표가 만들어집니다.
공식
무차원 변수 \(\rho = 2Zr/(na)\)를 정의하고 \(a = 1\)로 두면, 정규화된 동경 파동함수는 다음과 같이 표현됩니다.
$$R_{n,l}(r) = N \cdot e^{-\rho/2} \cdot \rho^{l} \cdot L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$$여기서 정규화 상수는 다음과 같습니다.
$$N = \sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^{3} \cdot \frac{(n-l-1)!}{2n \cdot (n+l)!}}$$버금 라게르 다항식은 다음과 같이 주어집니다.
$$L_p^q(x) = \sum (-1)^i \binom{p+q}{p-i} \frac{x^i}{i!}$$
계산 예시
Z=1, n=2, l=0인 경우(2s 오비탈):
$$R_{2,0}(r) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2 - r)\, e^{-r/2}$$r=0일 때 \(R = \frac{1}{2.828427} \cdot 2 = 0.707107\) 입니다. r=2에서는 R=0이 되는 동경 마디(radial node)가 나타납니다. 이 결과는 계산기 출력과 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
왜 앞에 마이너스 부호가 붙을 때가 있나요? 전체 부호는 위상(phase) 약속에 따른 것이며 물리적 의미는 없습니다. \((r \cdot R)^2\)은 부호와 무관하게 동일합니다.
l≥1일 때 R(0)=0인 이유는 무엇인가요? \(l \geq 1\)이면 r=0에서 \(\rho^l = 0\)이 되기 때문입니다.
R(r)의 단위는 무엇인가요? \(a_0^{-3/2}\) 입니다. 파동함수가 보어 반지름 단위로 측정한 3차원 공간에서 정규화되기 때문입니다.
