ما هي حاسبة الدالة الموجية القطرية لذرة الهيدروجين؟
تحسب هذه الأداة الدالة الموجية القطرية المعيّرة R(r) لذرة شبيهة بالهيدروجين (أي ذات إلكترون واحد) — وهي الجزء من الدالة الموجية للإلكترون الذي يعتمد فقط على المسافة r من النواة. كما تعيد لك المقدار r·R(r)، لأن كثافة الاحتمال القطرية تتناسب مع (r·R(r))². هذه الحسابات تنتمي إلى ميكانيكا الكم البحتة وتنطبق بشكل عام دون قيود. تُقاس المسافات بوحدات نصف قطر بور (\(a = a_0 = 1\)).
كيفية الاستخدام
اختر العدد الذري Z (الهيدروجين Z=1 أو أيون الهيليوم He+ بـ Z=2)، ثم أدخل عدد الكم الرئيسي n (1، 2، 3، ...) وعدد الكم المداري l (من 0 إلى n−1). بعد ذلك حدّد نصف القطر الابتدائي ومقدار الخطوة وعدد النقاط لتبني جدولاً يمكنك رسمه بيانياً.
المعادلة
باستخدام المتغير عديم الأبعاد \(\rho = \frac{2\,Z\,r}{n\,a}\) مع \(a = 1\)، تُعطى الدالة الموجية القطرية المعيّرة بالعلاقة
$$R_{n,l}(r) = N\,e^{-\rho/2}\,\rho^{\,l}\,L_{n-l-1}^{\,2l+1}(\rho)$$حيث ثابت التعيير
$$N = \sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^{3}\frac{(n-l-1)!}{2n\,((n+l)!)}}$$وتُعرَّف كثيرة حدود لاغير المرافقة بالعلاقة
$$L_p^q(x) = \sum (-1)^i \binom{p+q}{p-i} \frac{x^i}{i!}$$
مثال محلول
عند Z=1 وn=2 وl=0 (المدار 2s):
$$R_{2,0}(r) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2 - r)\,e^{-r/2}$$عند r=0 يكون \(R = \frac{1}{2.828427}\cdot 2 = 0.707107\). وعند r=2 توجد عقدة قطرية حيث \(R=0\). وهذا يطابق ما تخرجه الحاسبة تماماً.
الأسئلة الشائعة
لماذا تظهر أحياناً إشارة سالبة في البداية؟ الإشارة الكلية مجرد اصطلاح للطور وليس لها معنى فيزيائي؛ فالمقدار \((r\cdot R)^2\) لا يتأثر بالإشارة.
لماذا يكون R(0)=0 عندما l≥1؟ لأن \(\rho^l = 0\) عند r=0 حين يكون \(l\ge 1\).
ما هي وحدة R(r)؟ هي \(a_0^{-3/2}\)، لأن الدالة الموجية مُعيّرة على الفضاء ثلاثي الأبعاد المقيس بوحدات نصف قطر بور.
