ما الذي تقوم به هذه الحاسبة

تتيح لك هذه الأداة حساب الدالة الموجية للإلكترون في حالة مقيّدة داخل ذرة شبيهة بالهيدروجين، وهي الحل الدقيق لمعادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن لإلكترون واحد يدور حول نواة نقطية شحنتها Z. تنفصل الدالة الموجية الكاملة إلى جزء قطري وآخر زاوي على النحو التالي: $\Psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) \times Y_l^m(\theta, \phi)$. وتعمل الحاسبة مع ذرة الهيدروجين (Z = 1) وأيون الهيليوم الأحادي He+ (Z = 2). تُعبَّر المسافات بوحدات نصف قطر بور (a = 1)، لذا تظهر Ψ بوحدات شبه ذرية مقدارها $a^{-3/2}$.

كيفية الاستخدام

اختر أولاً شحنة النواة Z، ثم أدخل الأعداد الكمية الثلاثة: العدد الكمي الرئيسي n (1، 2، 3، ...)، والعدد الكمي المداري l (من 0 إلى n-1)، والعدد الكمي المغناطيسي m (من -l إلى +l). أدخل بعد ذلك النقطة في الفضاء التي تريد حساب الدالة الموجية عندها: المسافة القطرية r بوحدات نصف قطر بور، والزاوية القطبية θ بالدرجات (من 0 إلى 180)، والزاوية السمتية φ بالدرجات (من 0 إلى 360). تعطيك الحاسبة مقدار Ψ وجزأها الحقيقي والتخيّلي، بالإضافة إلى حاصل ضرب r في Ψ المفيد لتصوّر الكثافة القطرية.

شرح المعادلة

تُبنى الدالة القطرية $R_{nl}(r)$ من ثابت تطبيع، ودالة أسية متناقصة $e^{-Zr/(na)}$، وعامل أسّي $\rho^l$ حيث $\rho = 2Zr/(na)$، إضافة إلى كثير حدود لاغير المرافق $L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$ الذي يُحسب كمجموع منتهٍ. أما الدالة الزاوية $Y_l^m$ فتستخدم دالة لوجاندر المرافقة $P_l^m(\cos\theta)$ والطور العقدي $e^{im\phi}$. عندما يكون m = 0 تكون النتيجة حقيقية بحتة، أما عندما يختلف m عن الصفر فإنها تحمل طوراً، ولذلك نعرض الجزء الحقيقي والجزء التخيّلي والمقدار. لاحظ أن $|\Psi|^2$ (كثافة الاحتمال) لا تعتمد على φ.

$$\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{nl} &= -\sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n\,(n+l)!}}\; e^{-\frac{Zr}{na}} \rho^{\,l}\, L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) \\ \rho &= \frac{2\,\text{Z}\,\text{r}}{\text{n}\,\text{a}} \\ Y_l^m &= \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\; P_l^{|m|}(\cos\theta)\, e^{im\phi} \end{aligned} \right.$$

مخطط يبيّن الدالة الموجية كحاصل ضرب جزء قطري R وجزء زاوي Y — تنفصل الدالة الموجية إلى دالة قطرية R(r) ودالة زاوية Y.

مثال محلول (الحالة الأرضية 1s)

لنضع Z = 1، n = 1، l = 0، m = 0، r = 1، θ = 0، φ = 0. عندها يكون $\rho = 2$، ويساوي المعامل القطري $\sqrt{8 \times 1 / (2 \times 1)} = 2$ (مع إشارة سالبة في المقدمة، أي $-2$)، و$e^{-1} = 0.367879$، وكثير حدود لاغير $L_0^1(2) = 1$، فينتج $R_{10}(1) = -0.735759$. أما التوافقية الكروية فهي $Y_0^0 = \sqrt{1 / (4\pi)} = 0.282095$. وبضرب القيمتين نحصل على $\Psi = -0.207538$ بمقدار يساوي $0.207538$ — وهو ما يطابق القيمة المرجعية للحالة 1s في الكتب المدرسية $(1/\sqrt{\pi})\, e^{-r}$ عند r = 1.

سحابة إلكترونية لمدار 1s الكروي مع منحنى احتمال متناقص مقابل نصف القطر — الحالة الأرضية 1s: سحابة متماثلة كرويًا أكثف ما تكون عند النواة.

الأسئلة الشائعة

لماذا تكون النتيجة سالبة أحياناً؟ تعتمد هذه الحاسبة العُرف الشائع في وضع إشارة سالبة في مقدمة $R_{nl}$. ولا تتأثر الكميات الفيزيائية القابلة للقياس مثل $|\Psi|^2$ بالإشارة الكلية.

ما وحدات Ψ؟ مع ضبط نصف قطر بور على a = 1، تُقاس Ψ بوحدات $a^{-3/2}$. وللحصول على القيم بالنظام الدولي للوحدات (SI)، اضرب r في $a_0 = 5.29177\times10^{-11}$ متر، واضرب Ψ في $a_0^{-3/2}$.

لماذا تنعدم حالات l الأعلى عند r = 0؟ يجبر العامل $\rho^l$ الدالة $R_{nl}$ على الانعدام عند نقطة الأصل كلما كان l > 0، فلا توجد كثافة غير صفرية عند النواة إلا في حالات s (أي l = 0).

Real part of Ψ	؜-٠٫٢٠٧٥٥٤
Imaginary part of Ψ	؜-٠
r·Ψ magnitude	٠٫٢٠٧٥٥٤ a^(-1/2)
r·Ψ real part	؜-٠٫٢٠٧٥٥٤
r·Ψ imaginary part	؜-٠

حاسبة الدالة الموجية لذرة الهيدروجين

أدخل الحساب

صيغة رياضية

نتائج

ما الذي تقوم به هذه الحاسبة

كيفية الاستخدام

شرح المعادلة

مثال محلول (الحالة الأرضية 1s)

الأسئلة الشائعة

الآلات الحاسبة ذات الصلة