この計算機でできること

このツールは、点状の原子核（電荷 $Z$）のまわりを1個の電子が回る水素様原子について、束縛状態の電子波動関数を計算します。これは時間に依存しないシュレーディンガー方程式の厳密解にあたります。波動関数全体は動径部分と角度部分に変数分離でき、$\Psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) \times Y_l^m(\theta, \phi)$ と表されます。水素原子（$Z = 1$）とヘリウムイオン He⁺（$Z = 2$）に対応しています。距離はボーア半径を単位（$a = 1$）として表すため、$\Psi$ は $a^{-3/2}$ という原子単位系に近い単位で得られます。

使い方

まず核電荷 $Z$ を選び、次に3つの量子数を入力します。主量子数 $n$（1, 2, 3, …）、方位量子数 $l$（0 から $n-1$ まで）、磁気量子数 $m$（$-l$ から $+l$ まで）です。最後に、波動関数を求めたい空間上の点を指定します。動径距離 $r$ はボーア半径単位、極角 $\theta$ は度単位（0〜180）、方位角 $\phi$ は度単位（0〜360）で入力してください。計算結果として、$\Psi$ の大きさ・実部・虚部に加えて、動径方向の密度を可視化するための $r\times\Psi$ も返します。

計算式の解説

動径関数 $R_{nl}(r)$ は、規格化定数、減衰する指数関数 $e^{-Zr/(na)}$、べき乗因子 $\rho^l$（ここで $\rho = 2Zr/(na)$）、そして有限和として評価される associated Laguerre 多項式（ラゲール陪多項式）$L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$ から組み立てられます。角度関数 $Y_l^m$ には、associated Legendre 関数（ルジャンドル陪関数）$P_l^m(\cos\theta)$ と複素位相 $e^{im\phi}$ が用いられます。$m = 0$ のときは結果は純実数になり、$m \neq 0$ のときは位相を持つため、実部・虚部・大きさを併せて表示します。なお、確率密度 $|\Psi|^2$ は $\phi$ に依存しない点に注意してください。

$$\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{nl} &= -\sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n\,(n+l)!}}\; e^{-\frac{Zr}{na}} \rho^{\,l}\, L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) \\ \rho &= \frac{2\,\text{Z}\,\text{r}}{\text{n}\,\text{a}} \\ Y_l^m &= \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\; P_l^{|m|}(\cos\theta)\, e^{im\phi} \end{aligned} \right.$$

波動関数を動径部分Rと角部分Yの積として示す図 — 波動関数は動径関数R(r)と角関数Yに分離される。

計算例（1s 基底状態）

$Z = 1$, $n = 1$, $l = 0$, $m = 0$, $r = 1$, $\theta = 0$, $\phi = 0$ と設定します。このとき $\rho = 2$ となり、動径の前係数は $\sqrt{8 \times 1 / (2 \times 1)} = 2$（先頭のマイナス符号を含めて $-2$）、$e^{-1} = 0.367879$、ラゲール多項式 $L_0^1(2) = 1$ なので、$R_{10}(1) = -0.735759$ となります。球面調和関数は $Y_0^0 = \sqrt{1 / (4\pi)} = 0.282095$ です。これらを掛け合わせると $\Psi = -0.207538$、大きさは $0.207538$ となり、教科書にある 1s の値 $(1/\sqrt{\pi})\, e^{-r}$ を $r = 1$ で評価した結果と一致します。

球状1s軌道の電子雲と、半径に対して減衰する確率曲線 — 1s基底状態：原子核で最も密な球対称の電子雲。

よくある質問

結果が負になることがあるのはなぜ？ この計算機は、$R_{nl}$ の先頭にマイナス符号を付ける一般的な符号の取り方を採用しています。$|\Psi|^2$ のような物理的に観測される量は、全体の符号の影響を受けません。

$\Psi$ の単位は？ ボーア半径を $a = 1$ とおいているため、$\Psi$ の単位は $a^{-3/2}$ です。SI 単位に変換するには、$r$ にボーア半径 $a_0 = 5.29177\times10^{-11}\ \text{m}$ を掛け、$\Psi$ を $a_0^{-3/2}$ でスケールしてください。

$l$ が大きい状態では、なぜ $r = 0$ で消えるの？ $\rho^l$ という因子があるため、$l > 0$ のとき $R_{nl}$ は原点でゼロになります。原子核の位置で密度がゼロにならないのは s 状態（$l = 0$）だけです。

Real part of Ψ	-0.207554
Imaginary part of Ψ	-0
r·Ψ magnitude	0.207554 a^(-1/2)
r·Ψ real part	-0.207554
r·Ψ imaginary part	-0

水素原子の波動関数計算機

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