この計算ツールでできること
このツールは、指定した量子数 \(n\) に対する一次元調和振動子（QHO）の波動関数 \(\psi_n(x)\) を、位置 \(x\) の範囲にわたって計算しグラフを描きます。調和振動子は、量子力学で厳密に解ける最も重要なモデルの一つであり、分子の振動、固体中のフォノン、電磁場のモードなどを記述します。これらの波動関数はハミルトニアンの固有状態で、エネルギーは \(E_n = \hbar\omega(n + 1/2)\) で与えられます。
単位の取り決め
結果を純粋に数値として扱うため、位置は無次元の振動子長単位で測ります。これはパラメータ \(\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar} = 1\) と置くことと等価です。この設定では質量・角振動数・\(\hbar\) の値は不要で、入力するのは \(n\) と \(x\) のサンプリング条件だけです。エネルギーは \(\hbar\omega\) を単位として出力されるため、\(E_n\) は単に \(n + 1/2\) となります。
計算式
規格化された固有関数は $$\psi_n(x) = N_n \cdot H_n(x) \cdot \exp(-x^2/2)$$ で表されます。ここで規格化定数は $$N_n = \sqrt{\frac{1}{2^{n} \cdot n! \cdot \sqrt{\pi}}}$$ であり、\(H_n\) は物理学で用いられるエルミート多項式です。エルミート多項式は安定な漸化式 \(H_0 = 1\)、\(H_1 = 2x\)、\(H_{k+1} = 2x \cdot H_k - 2k \cdot H_{k-1}\) から構成されます。大きな \(n\) でのオーバーフローを避けるため、規格化は対数領域で計算しています。
使い方
量子数 \(n\)（0, 1, 2, …）、初期位置 \(x\)、刻み幅、サンプリングする点数を入力します。計算機は各 \(i\) について \(x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}\) を評価し、各点での \(\psi\) の値と、\(x\) に対する \(\psi(x)\) のグラフを返します。初期値（開始 \(-4\)、刻み \(0.1\)、81 点）では \(x\) を \(-4\) から \(+4\) まで掃引します。
計算例
\(n = 1\)、\(x = 1.0\) の場合：\(N_1 = \sqrt{1/(2\sqrt{\pi})} = 0.5311259\)、\(H_1(1) = 2.0\)、\(\exp(-0.5) = 0.6065307\) です。したがって $$\psi_1(1.0) = 0.5311259 \times 2.0 \times 0.6065307 = 0.6442715$$ となります。\(n = 1\) の状態は \(x = 0\) に節を持ち、\(\psi_1(0) = 0\) です。
よくある質問
なぜ \(\psi\) は負になるのですか？ ここでの波動関数は実数で、符号が振動します。物理的に観測できる確率密度は \(|\psi|^2\) であり、これは常に非負です。
\(\psi_n\) の節はいくつありますか？ ポテンシャル井戸の内部にちょうど \(n\) 個の節（ゼロ交差）があります。これは第 \(n\) 励起状態の特徴です。
\(\psi\) は規格化されていますか？ はい。連続的な \(x\) においては \(\psi_n^2\) を \(x\) で積分すると 1 になります。有限のサンプリング格子はこの積分を近似的に再現するに留まります。
