यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल चुनी गई क्वांटम संख्या \(n\) के लिए, स्थितियों \(x\) की एक श्रेणी पर एक-विमीय क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर (QHO) के वेवफंक्शन \(\psi_n(x)\) की गणना करता है और उसका ग्राफ़ बनाता है। QHO क्वांटम यांत्रिकी के सबसे महत्वपूर्ण ऐसे मॉडलों में से एक है जिसका सटीक हल निकलता है — यह कंपन करते अणुओं, ठोसों में फोनॉन, और विद्युत-चुंबकीय क्षेत्र के मोड का वर्णन करता है। ये वेवफंक्शन हैमिल्टोनियन के आइगेन-अवस्थाएँ हैं, जिनकी ऊर्जा \(E_n = \hbar\omega\left(n + \tfrac{1}{2}\right)\) होती है।
इकाई की परिपाटी
परिणाम को पूरी तरह संख्यात्मक रखने के लिए, स्थितियाँ विमारहित ऑसिलेटर-लंबाई इकाइयों में मापी जाती हैं, जो पैरामीटर \(\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar} = 1\) रखने के बराबर है। इस चयन के साथ किसी द्रव्यमान, कोणीय आवृत्ति या \(\hbar\) के मान की ज़रूरत नहीं रहती: आपको केवल \(n\) और \(x\) सैंपलिंग के पैरामीटर देने होते हैं। ऊर्जाएँ \(\hbar\omega\) की इकाइयों में आती हैं, इसलिए \(E_n\) बस \(n + \tfrac{1}{2}\) के बराबर हो जाती है।
सूत्र
सामान्यीकृत (normalized) आइगेनफंक्शन है
$$\psi_n(x) = N_n\, H_n(x)\, e^{-x^{2}/2}$$जहाँ सामान्यीकरण स्थिरांक
$$N_n = \sqrt{\frac{1}{2^{n}\,n!\,\sqrt{\pi}}}$$और \(H_n\) भौतिकविदों का हर्मिट बहुपद है। हर्मिट बहुपद इस स्थिर पुनरावृत्ति से बनते हैं: \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\), और
$$H_{k+1} = 2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}$$बड़े \(n\) पर ओवरफ़्लो से बचने के लिए सामान्यीकरण की गणना लघुगणक (log) क्षेत्र में की जाती है।
इसका उपयोग कैसे करें
क्वांटम संख्या \(n\) (0, 1, 2, ...), प्रारंभिक स्थिति \(x\), चरण आकार (step), और सैंपल करने के लिए बिंदुओं की संख्या दर्ज करें। कैलकुलेटर हर \(i\) के लिए \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) का मान निकालता है और प्रत्येक बिंदु पर \(\psi\) लौटाता है, साथ ही \(\psi(x)\) बनाम \(x\) का ग्राफ़ भी देता है। डिफ़ॉल्ट मान (प्रारंभ -4, चरण 0.1, 81 बिंदु) \(x\) को -4 से +4 तक स्वीप करते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
\(n = 1\) के लिए \(x = 1.0\) पर: \(N_1 = \sqrt{1/(2\sqrt{\pi})} = 0.5311259\), \(H_1(1) = 2.0\), और \(e^{-0.5} = 0.6065307\)। इसलिए
$$\psi_1(1.0) = 0.5311259 \times 2.0 \times 0.6065307 = 0.6442715$$\(n = 1\) अवस्था में \(x = 0\) पर एक नोड होता है, जहाँ \(\psi_1(0) = 0\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(\psi\) ऋणात्मक (negative) क्यों हो जाता है? यहाँ वेवफंक्शन वास्तविक (real) हैं और इनका चिह्न दोलन करता है; भौतिक रूप से प्रेक्षणीय मात्रा प्रायिकता घनत्व \(|\psi|^2\) है, जो हमेशा अऋणात्मक रहती है।
\(\psi_n\) में कितने नोड होते हैं? कुएँ (well) के अंदर ठीक \(n\) नोड (शून्य-पार बिंदु) होते हैं — यह \(n\)-वीं उत्तेजित अवस्था की पहचान है।
क्या \(\psi\) सामान्यीकृत (normalized) है? हाँ, सतत \(x\) में \(\int \psi_n^2\, dx\) का समाकलन 1 के बराबर होता है। एक सीमित सैंपल किया गया ग्रिड इस समाकलन का केवल सन्निकट मान देता है।
