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परिणाम

योग (Z1 + Z2)

6 + 8 i

घटाव (Z1 - Z2)	-2 - 2 i
Multiplication (Z1 × Z2)	-7 + 22 i
Division (Z1 ÷ Z2)	0.560976 + 0.04878 i

यह कैलकुलेटर क्या करता है

सम्मिश्र संख्या का रूप होता है $a + b\,i$, जहाँ a वास्तविक भाग है, b काल्पनिक भाग है, और i काल्पनिक इकाई है जिसे $i^2 = -1$ से परिभाषित किया जाता है। यह टूल दो सम्मिश्र संख्याओं $Z_1 = a + b\,i$ और $Z_2 = c + d\,i$ को लेकर पलक झपकते ही चारों मूल संक्रियाओं—योग, अंतर, गुणनफल और भागफल—की गणना कर देता है, और हर परिणाम मानक $a + b\,i$ रूप में देता है।

वास्तविक और काल्पनिक घटकों के साथ सम्मिश्र तल पर अंकित सम्मिश्र संख्या — सम्मिश्र संख्या $a+bi$ सम्मिश्र तल पर एक बिंदु के रूप में।

इसका उपयोग कैसे करें

हर संख्या को सम्मिश्र रूप में टाइप करें, जैसे 2+3i, 3-2i, -i, 5 (शुद्ध वास्तविक), या 4i (शुद्ध काल्पनिक)। खाली जगहों (स्पेस) को नज़रअंदाज़ कर दिया जाता है, अकेला i 1i माना जाता है जबकि -i को -1i गिना जाता है। गणना करें बटन दबाते ही जोड़, घटाव, गुणा और भाग आपको साथ-साथ दिख जाएंगे।

सूत्रों की पूरी समझ

जोड़ और घटाव घटक-दर-घटक होते हैं:

$$(a+bi) \pm (c+di) = (a\pm c) + (b\pm d)\,i$$

गुणा में वितरण नियम और $i^2 = -1$ का उपयोग होता है, जिससे $(ac - bd) + (bc + ad)\,i$ मिलता है। भाग में अंश और हर दोनों को $Z_2$ के संयुग्मी (conjugate) से गुणा किया जाता है, जिससे वास्तविक भाग $\frac{ac+bd}{c^2+d^2}$ और काल्पनिक भाग $\frac{bc-ad}{c^2+d^2}$ प्राप्त होता है।

$$\begin{gathered} z_1 = a + b\,i, \qquad z_2 = c + d\,i \\[1em] z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)\,i \\[0.4em] z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)\,i \\[0.4em] z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (bc + ad)\,i \\[0.4em] \frac{z_1}{z_2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\,i \end{gathered}$$

दो सम्मिश्र संख्याओं के सदिश के रूप में योग दर्शाता समांतर चतुर्भुज — सम्मिश्र संख्याओं का योग समांतर चतुर्भुज नियम का पालन करता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $Z_1 = 2 + 3i$ और $Z_2 = 4 + 5i$। तब योग होगा $6 + 8i$, अंतर होगा $-2 - 2i$, और गुणनफल होगा

$$(2\cdot 4 - 3\cdot 5) + (3\cdot 4 + 2\cdot 5)\,i = -7 + 22i$$

भाग के लिए हर बनता है $4^2 + 5^2 = 41$, इसलिए भागफल होगा

$$\frac{8+15}{41} + \frac{12-10}{41}\,i \approx 0.560976 + 0.048780\,i$$

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर मैं शून्य से भाग दूँ तो क्या होगा? यदि $Z_2 = 0$ (यानी c और d दोनों शून्य हैं) तो भागफल अपरिभाषित होता है, इसलिए भाग वाली पंक्ति में "अपरिभाषित" दिखेगा जबकि बाकी तीनों परिणाम सही बने रहेंगे।

क्या ये संक्रियाएँ क्रमविनिमेय (commutative) हैं? जोड़ और गुणा क्रमविनिमेय हैं; घटाव और भाग नहीं हैं, इसलिए कैलकुलेटर $Z_1$ के बाद $Z_2$ का क्रम ठीक वैसा ही रखता है जैसा आपने डाला है।

क्या मैं ऋणात्मक या दशमलव गुणांक डाल सकता हूँ? हाँ। -1.5+0.5i जैसे मान पूरी तरह समर्थित हैं, और शुद्ध वास्तविक या शुद्ध काल्पनिक इनपुट अपने आप संभाल लिए जाते हैं।

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