Ce que fait cette calculatrice
Un nombre complexe s'écrit sous la forme a + b i, où a est la partie réelle, b la partie imaginaire et i l'unité imaginaire définie par \(i^2 = -1\). Cet outil prend deux nombres complexes, \(Z_1 = a + b\,i\) et \(Z_2 = c + d\,i\), puis calcule instantanément les quatre opérations de base : leur somme, leur différence, leur produit et leur quotient, chacun renvoyé sous la forme standard \(a + b\,i\).
Comment l'utiliser
Saisissez chaque nombre comme un complexe littéral, par exemple 2+3i, 3-2i, -i, 5 (réel pur) ou 4i (imaginaire pur). Les espaces sont ignorés : un simple i vaut 1i et -i vaut -1i. Cliquez sur « Calculer » pour voir l'addition, la soustraction, la multiplication et la division côte à côte.
Les formules expliquées
L'addition et la soustraction se font composante par composante : \((a+bi) \pm (c+di) = (a\pm c) + (b\pm d)\,i\). La multiplication applique la distributivité combinée à \(i^2 = -1\), ce qui donne \((ac - bd) + (bc + ad)\,i\). La division multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de \(Z_2\), d'où une partie réelle \(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\) et une partie imaginaire \(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\).
$$\begin{gathered} z_1 = a + b\,i, \qquad z_2 = c + d\,i \\[1em] z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)\,i \\[0.4em] z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)\,i \\[0.4em] z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (bc + ad)\,i \\[0.4em] \frac{z_1}{z_2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\,i \end{gathered}$$
Exemple détaillé
Prenons \(Z_1 = 2 + 3i\) et \(Z_2 = 4 + 5i\). La somme vaut alors \(6 + 8i\), la différence \(-2 - 2i\), et le produit $$(2\cdot 4 - 3\cdot 5) + (3\cdot 4 + 2\cdot 5)\,i = -7 + 22i.$$ Pour la division, le dénominateur est \(4^2 + 5^2 = 41\), donc le quotient vaut $$\frac{8+15}{41} + \frac{12-10}{41}\,i \approx 0{,}560976 + 0{,}048780\,i.$$
FAQ
Que se passe-t-il si je divise par zéro ? Si \(Z_2 = 0\) (c et d sont tous deux nuls), le quotient n'est pas défini : la ligne de division affiche alors « indéfini », tandis que les trois autres résultats restent valides.
Les opérations sont-elles commutatives ? L'addition et la multiplication le sont ; la soustraction et la division, non. La calculatrice respecte donc précisément l'ordre \(Z_1\) puis \(Z_2\) tel que vous l'avez saisi.
Puis-je saisir des coefficients négatifs ou décimaux ? Oui. Des valeurs comme -1.5+0.5i sont parfaitement prises en charge, et les entrées réelles pures ou imaginaires pures sont traitées automatiquement.
