복소수 사칙연산 계산기

계산 입력

첫 번째 복소수 (a + b i)

두 번째 복소수 (c + d i)

결과

합 (Z1 + Z2)

6 + 8 i

차 (Z1 - Z2)	-2 - 2 i
Multiplication (Z1 × Z2)	-7 + 22 i
Division (Z1 ÷ Z2)	0.560976 + 0.04878 i

이 계산기는 무엇을 하나요?

복소수는 \(a + b\,i\) 형태로 나타냅니다. 여기서 \(a\)는 실수부, \(b\)는 허수부이며, \(i\)는 \(i^2 = -1\)로 정의되는 허수 단위입니다. 이 도구는 두 복소수 \(Z_1 = a + b\,i\)와 \(Z_2 = c + d\,i\)를 입력받아, 네 가지 기본 연산인 합·차·곱·몫을 곧바로 계산하고 각 결과를 표준형 \(a + b\,i\)로 보여줍니다.

복소평면 위의 한 점으로 나타낸 복소수 \(a+bi\).

사용 방법

각 값을 복소수 형태로 입력하세요. 예를 들어 2+3i, 3-2i, -i, 5(순실수), 4i(순허수)처럼 적으면 됩니다. 공백은 무시되며, i만 쓰면 1i로, -i는 -1i로 인식합니다. 계산 버튼을 누르면 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈 결과가 나란히 표시됩니다.

공식 설명

덧셈과 뺄셈은 실수부·허수부끼리 따로 계산합니다: \((a+bi) \pm (c+di) = (a\pm c) + (b\pm d)\,i\). 곱셈은 분배법칙과 \(i^2 = -1\)을 함께 적용해 \((ac - bd) + (bc + ad)\,i\)가 됩니다. 나눗셈은 분자와 분모에 \(Z_2\)의 켤레복소수를 곱해, 실수부 \((ac+bd)/(c^2+d^2)\), 허수부 \((bc-ad)/(c^2+d^2)\)를 얻습니다.

$$\begin{gathered} z_1 = a + b\,i, \qquad z_2 = c + d\,i \\[1em] z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)\,i \\[0.4em] z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)\,i \\[0.4em] z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (bc + ad)\,i \\[0.4em] \frac{z_1}{z_2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\,i \end{gathered}$$

복소수의 덧셈은 평행사변형 법칙을 따른다.

계산 예시

\(Z_1 = 2 + 3i\), \(Z_2 = 4 + 5i\)라고 해 봅시다. 합은 \(6 + 8i\), 차는 \(-2 - 2i\)이고, 곱은 $$(2\cdot 4 - 3\cdot 5) + (3\cdot 4 + 2\cdot 5)\,i = -7 + 22i$$입니다. 나눗셈에서는 분모가 \(4^2 + 5^2 = 41\)이므로, 몫은 $$\frac{8+15}{41} + \frac{12-10}{41}\,i \approx 0.560976 + 0.048780\,i$$가 됩니다.

자주 묻는 질문

0으로 나누면 어떻게 되나요? \(Z_2 = 0\)(즉 \(c\)와 \(d\)가 모두 0)이면 몫은 정의되지 않습니다. 이때 나눗셈 항목에는 "정의되지 않음"이 표시되고, 나머지 세 결과는 정상적으로 계산됩니다.

연산 순서를 바꿔도 결과가 같나요? 덧셈과 곱셈은 교환법칙이 성립하지만, 뺄셈과 나눗셈은 그렇지 않습니다. 그래서 이 계산기는 입력하신 \(Z_1 \rightarrow Z_2\) 순서를 그대로 유지합니다.

음수나 소수 계수도 입력할 수 있나요? 네. -1.5+0.5i 같은 값도 모두 지원하며, 순실수나 순허수 입력도 자동으로 처리됩니다.