복소수의 절댓값(모듈러스)이란?
복소수는 \(a + bi\) 형태로 표기하며, 여기서 \(a\)는 실수부, \(b\)는 허수부입니다. 절댓값(모듈러스 또는 크기라고도 부릅니다)은 복소평면에서 원점으로부터 점 (a, b)까지의 거리를 뜻합니다. 이 계산기는 그 거리뿐 아니라 복소수의 편각(각도)까지 함께 계산해 줍니다.
계산기 사용법
복소수의 실수부 \(a\)와 허수부 \(b\)를 입력하세요. 그러면 \(|a + bi|\) 값은 물론, 계산에 쓰이는 제곱값 \(a^2\)과 \(b^2\), 그리고 편각을 라디안과 도(°) 두 단위로 즉시 보여 줍니다.
공식 풀이
절댓값은 다음과 같이 구합니다.
$$|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$$이는 피타고라스 정리를 그대로 적용한 것입니다. \(a\)와 \(b\)가 직각삼각형의 두 변(밑변과 높이)을 이루고, 절댓값은 그 빗변에 해당합니다. 두 항을 모두 제곱하기 때문에 결과는 언제나 0 이상의 값이 됩니다. 편각은 다음과 같이 구하며, 이 함수는 모든 사분면을 정확하게 처리합니다.
$$\theta = \operatorname{atan2}(b, a)$$
예제 풀이
복소수 \(3 + 4i\)를 예로 들어 보겠습니다. \(a^2 = 9\), \(b^2 = 16\)이 되고, 두 값을 더하면 25입니다. 25의 제곱근은 5이므로 다음과 같이 됩니다.
$$|3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$편각은 \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273\) 라디안, 약 53.13°입니다.
자주 사용되는 복소수와 그 절댓값
자주 사용되는 복소수의 절댓값과 편각. 편각은 \(\operatorname{atan2}(b,a)\)의 주값을 사용하며, 범위는 \((-180^\circ, 180^\circ]\)입니다.
| \(a+bi\) | 절댓값 \(|a+bi|\) | 편각 (라디안) | 편각 (도) |
|---|---|---|---|
| \(1+0i\) | 1 | 0 | 0° |
| \(0+1i\) | 1 | \(\pi/2 \approx 1.5708\) | 90° |
| \(1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(\pi/4 \approx 0.7854\) | 45° |
| \(3+4i\) | 5 | \(\approx 0.9273\) | \(\approx 53.13°\) |
| \(-1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(3\pi/4 \approx 2.3562\) | 135° |
| \(1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-\pi/4 \approx -0.7854\) | −45° |
| \(-1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-3\pi/4 \approx -2.3562\) | −135° |
| \(5+12i\) | 13 | \(\approx 1.1760\) | \(\approx 67.38°\) |
| \(0+0i\) | 0 | 0 (정의되지 않음) | 0° (정의되지 않음) |
참고: \(0+0i\)의 편각은 점이 원점에 있기 때문에 정의되지 않습니다. 대부분의 구현에서는 관례상 0을 반환합니다.
핵심 용어
- 복소수
- \(a + bi\) 형태의 수이며, 여기서 \(a\)와 \(b\)는 실수이고 \(i\)는 \(i^2 = -1\)을 만족하는 허수 단위입니다.
- 실부 (a)
- \(a+bi\)의 성분 \(a\)로, 복소평면의 수평축(실수축) 위에 있습니다.
- 허부 (b)
- \(a+bi\)에서 허수 단위의 실수 계수 \(b\)이며, 수직축(허수축) 위에 있습니다. 허부는 \(bi\)가 아니라 \(b\)인 점에 유의하세요.
- 절댓값 / 절댓값
- 복소평면에서 원점에서 점 \((a,b)\)까지의 거리이며, \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\)로 나타냅니다. 항상 음이 아닙니다.
- 편각
- 양의 실수축과 원점에서 \((a,b)\)로 가는 직선 사이의 각도 \(\theta\)이며, 반시계 방향으로 측정됩니다. 절댓값과 함께 극형식 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)을 제공합니다.
- 복소평면
- 2차원 평면(아르강 다이어그램이라고도 함)으로, 수평축은 실부를 나타내고 수직축은 허부를 나타내므로 각 복소수를 점으로 나타낼 수 있습니다.
- atan2 함수
- 2개 인수 역탄젠트 \(\operatorname{atan2}(b, a)\)로, 모든 4개 사분면에서 올바른 각도를 반환합니다(범위 \((-\pi, \pi]\)). 일반적인 \(\arctan(b/a)\)와 달리 \(a\)와 \(b\)의 부호를 모두 사용하여 각도를 적절한 사분면에 배치합니다.
자주 묻는 질문(FAQ)
절댓값이 음수가 될 수도 있나요? 아닙니다. 제곱의 합에 대한 제곱근이기 때문에 절댓값은 항상 0이거나 양수입니다.
\(a\)와 \(b\)가 모두 0이면 어떻게 되나요? 이때 절댓값은 0이고, 편각은 관례상 0으로 정합니다.
절댓값과 편각은 어떻게 다른가요? 절댓값은 복소수가 원점에서 얼마나 떨어져 있는지(거리)를 나타내고, 편각은 양의 실수축을 기준으로 한 방향(각도)을 나타냅니다.
