什麼是複數的模？
複數通常寫成 \(a + bi\) 的形式，其中 \(a\) 是實部，\(b\) 是虛部。所謂「模」（也稱為絕對值或大小）指的是複數平面上原點到點 \((a, b)\) 之間的距離。這個計算機會替你算出這段距離，同時也會回報該複數的輻角（也就是角度）。
如何使用這個計算機
只要輸入複數的實部 \(a\) 與虛部 \(b\)，工具就會立即算出 \(|a + bi|\)，並列出參與計算的平方項 \(a^2\) 與 \(b^2\)，以及分別以弧度和角度表示的輻角。
公式說明
模的計算公式為 $$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$ 這其實就是畢氏定理的直接應用：\(a\) 與 \(b\) 構成一個直角三角形的兩股，而模就是斜邊。由於兩項都先取平方，結果必定為非負數。至於輻角，則透過 \(\operatorname{atan2}(b, a)\) 求得，這個函式能正確處理每一個象限的情況。
實際範例
以複數 \(3 + 4i\) 為例，先算出 \(a^2 = 9\) 以及 \(b^2 = 16\)，兩者相加得 \(25\)，再開根號得 \(5\)，所以 $$|3 + 4i| = 5.$$ 其輻角為 \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273\) 弧度，約等於 \(53.13^\circ\)。
常見複數及其模數
常用複數的模數和輻角。輻角使用 \(\operatorname{atan2}(b,a)\) 的主值，範圍在 \((-180^\circ, 180^\circ]\)。
| \(a+bi\) | 模數 \(|a+bi|\) | 輻角（弧度） | 輻角（度數） |
|---|---|---|---|
| \(1+0i\) | 1 | 0 | 0° |
| \(0+1i\) | 1 | \(\pi/2 \approx 1.5708\) | 90° |
| \(1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(\pi/4 \approx 0.7854\) | 45° |
| \(3+4i\) | 5 | \(\approx 0.9273\) | \(\approx 53.13°\) |
| \(-1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(3\pi/4 \approx 2.3562\) | 135° |
| \(1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-\pi/4 \approx -0.7854\) | −45° |
| \(-1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-3\pi/4 \approx -2.3562\) | −135° |
| \(5+12i\) | 13 | \(\approx 1.1760\) | \(\approx 67.38°\) |
| \(0+0i\) | 0 | 0（未定義） | 0°（未定義） |
注意：\(0+0i\) 的輻角未定義，因為該點位於原點；大多數實現按慣例傳回 0。
關鍵詞彙
- 複數
- 形式為 \(a + bi\) 的數字，其中 \(a\) 和 \(b\) 是實數，\(i\) 是滿足 \(i^2 = -1\) 的虛數單位。
- 實部 (a)
- \(a+bi\) 的分量 \(a\)，位於複平面的水平（實）軸上。
- 虛部 (b)
- \(a+bi\) 中虛數單位的實係數 \(b\)；它位於垂直（虛）軸上。注意虛部是數字 \(b\)，而不是 \(bi\)。
- 模數／絕對值
- 從原點到複平面中的點 \((a,b)\) 的距離，記為 \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\)。它始終是非負的。
- 輻角
- 正實軸與從原點到 \((a,b)\) 的直線之間的角度 \(\theta\)，以逆時針測量。結合模數，它給出極坐標形式 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)。
- 複平面
- 二維平面（也稱為阿根圖），其中水平軸表示實部，垂直軸表示虛部，使每個複數可以作為一個點進行繪製。
- atan2 函數
- 雙引數反正切函數 \(\operatorname{atan2}(b, a)\)，傳回所有四個象限中的正確角度（範圍 \((-\pi, \pi]\)）。與純粹的 \(\arctan(b/a)\) 不同，它使用 \(a\) 和 \(b\) 的符號將角度放在正確的象限中。
常見問題
模有可能是負數嗎？不會。因為它是平方和的平方根，所以模永遠為零或正數。
如果 \(a\) 和 \(b\) 都是零會怎樣？此時模為 \(0\)，而輻角依慣例取為 \(0\)。
模和輻角有什麼差別？模代表複數距離原點有多遠，而輻角則代表從正實軸量起的方向（角度）。
