什麼是複數次方計算機？
這個工具能將以直角座標形式表示的複數 \(z = a + bi\) 提升到任意次方 \(n\)。它不需要反覆把複數自乘，而是先把 \(z\) 轉換成極座標形式，再套用棣美弗定理（De Moivre theorem），讓整數次方甚至非整數次方都能既快速又精準地求出。計算結果會以我們熟悉的 \(a + bi\) 形式呈現，同時附上它的模長與輻角。
使用方法
輸入實部 \(a\)、虛部 \(b\) 與指數 \(n\)，按下計算，即可看到直角座標結果、新的模長、以角度表示的新輻角，以及原複數的極座標參數。指數 \(n\) 可以是正數、負數或分數。
公式解析
首先把複數轉換成極座標形式：模長為 \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)，輻角為 \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)。接著由棣美弗定理可得
$$z^{n} = r^{n}\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)$$展開後即得實部 \(r^{n}\cdot\cos(n\theta)\) 與虛部 \(r^{n}\cdot\sin(n\theta)\)。使用 \(\operatorname{atan2}\) 函數可確保角度落在正確的象限。
實例演算
以 \(z = 1 + i\)、\(n = 2\) 為例。模長為 \(r = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)，輻角為 \(\theta = 45°\)。於是 \(r^{n} = (\sqrt{2})^{2} = 2\)，\(n\theta = 90°\)。所以
$$z^{2} = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 2(0 + i\cdot 1) = 0 + 2i$$你也可以直接驗證：\((1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i - 1 = 2i\)。
常見問題
\(n\) 可以是負數嗎？可以。負次方等於先取倒數，再提升到對應的正次方，只要 \(z\) 不為零，本工具都能完整支援。
\(n\) 可以是分數嗎？可以——分數指數會回傳主根（其中一個分支）。其他的根則是在角度上加上 \(2\pi/n\) 的整數倍而得。
為什麼要用 \(\operatorname{atan2}\) 而不是 \(\arctan\)？\(\operatorname{atan2}\) 會同時考量 \(a\) 與 \(b\) 的正負號，因此輻角能落在正確的象限，而不會出現相差 180° 的誤差。
