什麼是二項式展開計算器？
這個工具會運用二項式定理展開 \((a + b)^{n}\) 這個算式。它會回傳算式的數值結果、展開後的項數，以及一份完整清單，列出每一個二項式係數 \(C(n,k)\) 與對應的各項。計算器支援 0 到 20 之間任意非負整數次方，a 與 b 也可以是任意實數係數。
使用方法
輸入第一項係數 a、第二項係數 b，以及次方 n，接著按下計算。上方主結果框會顯示 \((a + b)^{n}\) 的總值，下方表格則會列出項數，以及所有展開項的總和（這個總和必定等於主結果的數值）。展開清單會逐一列出每個係數與每一項，方便你核對自己的代數運算。
公式解析
二項式定理指出，\((a + b)^{n}\) 等於 k 從 0 到 n 的總和：\(C(n,k) \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}\)。這些係數 \(C(n,k)\) 正好構成巴斯卡三角形（楊輝三角）的一列。
$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$
我們以遞迴式 \(C(n,k) = C(n,k-1) \cdot (n - k + 1) / k\) 來高效計算，避免處理龐大的階乘數字。
實例演算
以 \((1 + 1)^{4}\) 為例：係數分別是 1、4、6、4、1。由於 \(a = b = 1\)，每一項的值都等於其係數，因此展開結果為 $$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$$ 恰好等於 \(2^{4} = 16\)。計算器會產生 5 個項，數值為 16。
帕斯卡三角形参考表（第 n = 0 至 10 行）
帕斯卡三角形的第 \(n\) 行列出二项式系数 \(\binom{n}{k}\)，其中 \(k = 0, 1, \dots, n\)。这些正是展开 \((a+b)^n\) 时出现的系数。每个内部项都等于它正上方的两个项的和，每一行中的项和为 \(2^n\)。
| \(n\) | 系数 \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\) | 行和 \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
例如，第 10 行的中间系数是 252，位于 \(k=5\)。每一行都是对称的，因为 \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)。
更多详细例题
例 1：\((x+2)^3\)
这里 \(a=x\)，\(b=2\)，\(n=3\)。第 3 行的系数为 \(1, 3, 3, 1\)。代入 \(\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}x^{3-k}2^{k}\)：
$$\binom{3}{0}x^3(2)^0 + \binom{3}{1}x^2(2)^1 + \binom{3}{2}x^1(2)^2 + \binom{3}{3}x^0(2)^3$$$$= 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 4 + 1\cdot 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$\(x\) 的幂次从 \(3\) 递减到 \(0\)，而 \(2\) 的幂次从 \(0\) 递增到 \(3\)。
例 2：\((2a-b)^4\) — 交替符号
将减法写成 \(b \to -b\)，所以底数项为 \(2a\) 和 \(-b\)，\(n=4\)，系数为 \(1, 4, 6, 4, 1\)：
$$\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(2a)^{4-k}(-b)^{k}$$$$= 1(2a)^4 + 4(2a)^3(-b) + 6(2a)^2(-b)^2 + 4(2a)(-b)^3 + 1(-b)^4$$$$= 16a^4 - 32a^3 b + 24a^2 b^2 - 8a b^3 + b^4$$因为当 \(k\) 为奇数时 \((-b)^k\) 为负，当 \(k\) 为偶数时为正，符号交替为 \(+,-,+,-,+\)。
例 3：\((x+1)^6\) — 显式递增递减幂次
当 \(a=x\)，\(b=1\)，\(n=6\) 时，第 6 行的系数为 \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\)。由于 \(1\) 的每个幂都是 \(1\)，系数直接出现：
$$(x+1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$$中间系数 \(20\) 等于 20，即 \(\binom{6}{3}\)。\(x\) 的指数在七项中从 \(6\) 递减到 \(0\)。
关键术语与变量
- \(a\) — 第一个底数项
- 二项式 \((a+b)^n\) 中的第一个量。在每个展开项中，它被提升至递减幂 \(a^{n-k}\)。
- \(b\) — 第二个底数项
- 二项式中的第二个量。它被提升至递增幂 \(b^{k}\)。对于减法 \((a-b)^n\)，将 \(b\) 视为负数，以便符号交替。
- \(n\) — 指数（次数）
- 二项式被提升的幂。对于非负整数 \(n\)，展开式恰好有 \(n+1\) 项，\(n\) 选择帕斯卡三角形的第 \(n\) 行。
- \(k\) — 求和指标
- 在 \(\sum_{k=0}^{n}\) 中从 \(0\) 运行到 \(n\) 的计数器。它标识每项的位置，并设置幂 \(a^{n-k}b^{k}\)。
- \(\binom{n}{k}\) — 二项式系数
- 读作"n 选 k"，计算为 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)。它是具有指标 \(k\) 的项上的数值乘数（也是从 \(n\) 个项中选择 \(k\) 个项的方法数）。
- 单个项
- 形式为 \(\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^{k}\) 的一个完整求和项：一个系数乘以 \(a\) 的幂和 \(b\) 的幂，其指数总是加起来等于 \(n\)。
常見問題
n 可以是分數或負數嗎？本計算器僅支援非負整數次方（0 到 20），此時展開式正好會有 \(n + 1\) 個項。
「各項總和」這一列代表什麼？它會把所有展開項加總起來作為驗算，理論上必定等於計算器所顯示的 \((a + b)^{n}\) 數值。
為什麼係數清單使用 \(C(n,k)\) 表示？\(C(n,k)\) 是標準的二項式係數記法，等於 \(n! / (k!(n-k)!)\)，代表每一項前面的倍數。
