什麼是二項式展開特定項計算器？

這個計算器能在 $(a + b)^n$ 的二項展開式中，直接求出某一個指定的項，而不必把整個式子完全展開。不論你要找的是第 5 項、常數項，還是某個特定次方的係數，通項公式都能一步算出答案。這是一個通用的數學工具——適用於任何地區，沒有任何國家或地區的特殊規則限制。

使用方法

請輸入第一項底數 a、第二項底數 b、指數 n，以及項次位置 k（第一項填 1、第二項填 2，依此類推）。計算器會回傳二項式係數 $C(n, r)$、該項的數值，以及對應的次方。請注意，第 $k$ 項所對應的 $r = k - 1$。

$(a + b)^n$ 展開式的通項為：

$$T_{r+1} = C(n, r) \cdot a^{\,n-r} \cdot b^{\,r}$$

其中 $C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ 即為二項式係數。第 $k$ 項對應 $r = k - 1$，因此第一項的 $r = 0$，最後一項的 $r = n$。兩個指數的總和恆等於 $n$：$(n - r) + r = n$。

求 $(2 + 3)^4$ 的第 3 項。此時 $a = 2$、$b = 3$、$n = 4$、$k = 3$，所以 $r = 2$。係數為 $C(4, 2) = 6$。該項即為 $$6 \cdot 2^{\,4-2} \cdot 3^2 = 6 \cdot 4 \cdot 9 = 216.$$

下列條目是二項式係數 $\binom{n}{r}$。若要找出展開式的第 $k$ 項，請沿著第 $n$ 行讀取，並取第 $r=k-1$ 欄中的值（欄數從 0 開始編號）。例如，$(a+b)^6$ 的第 4 項使用 $r=3$，得到 $\binom{6}{3}=20$。

每一項都等於其上方兩項之和，每一行都是對稱的：$\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$。

$a$ — 第一項（底數）: 二項式 $(a+b)^n$ 內的首項表達式。在每一項中，它被提升到 $n-r$ 次方。
$b$ — 第二項（底數）: 二項式內的末項表達式。在每一項中，它被提升到 $r$ 次方。它可能是負數或倒數（例如 $1/x$）；其符號和形式會帶入該項的值。
$n$ — 指數（次數）: 二項式被提升的次數。完整展開式有 $n+1$ 項，每一項中 $a$ 和 $b$ 的指數總和始終等於 $n$。
$k$ — 項數: 您想要的項所在的位置，從 1 開始計數（第一項 $a^n$ 是 $k=1$）。有效值的範圍從 $1$ 到 $n+1$。
$r$ — 係數索引: 用於二項式係數和次數的零基索引，定義為 $r=k-1$。它也是 $b$ 的次數。
$T_{r+1}$ — 通項: 展開式第 $(r+1)$ 項的公式：$T_{r+1}=\binom{n}{r}\,a^{\,n-r}\,b^{\,r}$。設定 $r=k-1$ 可得到第 $k$ 項。
$\binom{n}{r}$ — 二項式係數: 讀作「$n$ 選 $r$」，它計算從 $n$ 中選擇 $r$ 個項目的方式數，計算公式為 $\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$。它是該項的數值係數（不包括 $a$ 或 $b$ 的符號）。

k 代表什麼？ $k$ 是從 1 開始計算的項次編號。第 $k$ 項在公式中使用 $r = k - 1$。

如何求常數項？ 對於像 $(x + 1/x)^n$ 這類式子，將 $x$ 的淨次方設為零並解出 $r$，再以該 $r$（$k = r + 1$）代入此計算器即可。

a 和 b 可以是負數或分數嗎？ 可以——計算器是以數值方式計算 $a^{\,n-r}\cdot b^{\,r}$，所以負數與小數都能正常運算。